S´ EANCE 14 : ´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES NON-LIN´ EAIRES
14.1. Th´eor`eme d’existence locale
Dans cette s´eance, on traite des ´equations diff´erentielles g´en´erales. Plus pr´ecis´ement, on consid`ere une ´equation diff´erentielle de la forme
(14.1) x0(t) =f(t, x(t)),
o`uf est une application continue d’un ouvert Ω⊂Rd+1versRd.
Th´eor`eme 14.1 (Cauchy-Lipschitz). — On suppose qu’il existe λ >0tel que kf(t, x)−f(t, y)k6λkx−yk
pour tout t ∈R et x, y∈ Rd tels que (t, x) et (t, y) soient tous dans Ω. Alors pour tout(t0, x0)∈Ω, il existe ε >0tel que l’´equation (14.1)admette une unique solution γ sur ]t0−ε, t0+ε[ qui v´erifie γ(t0) =x0.
D´emonstration. — La strat´egorie est de choisir un espace Θ de courbes param´etr´ees et de construire une contractionT : Θ→Θ de la forme
T γ(t) =x0+ Z t
t0
f(s, γ(s)) ds.
Il faut bien choisir des conditions de sorte que la courbe param´etr´eeT γreste encore dans l’espace Θ.
Sans perte de g´en´eralit´e, on peut choisir les normes sup surRdetRd+1. Choisissons R >0 tel que
B((t0, x0), R) ={(t, x)∈Rd+1| k(t−t0, x−x0)k6R} ⊂Ω.
Soit
M = sup
t∈]t0−R,t0+R[
|f(t, x0)|+λR.
60 S ´EANCE 14 : ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES NON-LIN ´EAIRES
On choisitε < R assez petit de sorte que εM < R. Soient J = [t0−ε, t0+ε] et Θ l’ensemble des courbes param´etr´eesγ:J →Rd telles queγ(t0) =x0 et que
kγ(t)−x0k6R, t∈J.
On munit Θ de la m´etriquedde sorte que d(γ1, γ2) = sup
t∈J
kγ1(t)−γ2(t)k.
C’est un espace m´etrique complet. En outre, on a kT γ(t)−x0k=
Z t
t0
f(s, γ(s)) ds
6
Z t
t0
f(s, x0) ds
+
Z t
t0
f(s, γ(s))−f(s, x0) ds 6ε sup
s∈[t0−R,t0+R]
kf(s, x0)k+ελR=εM < R.
On a doncT γ∈Θ. En outre, on a kT γ1(t)−T γ2(t)k=
Z t
t0
f(s, γ1(s))−f(s, γ2(s)) ds
6λ|t−t0|d(γ1, γ2).
Par r´ecurrence on obtient
kTnγ1(t)−Tnγ2(t)k6λn
n!|t−t0|nd(γ1, γ2).
On en d´eduit
d(Tnγ1, Tnγ2)6λn
n!εnd(γ1, γ2).
DoncTn est une contraction lorsque nest assez grand. On en d´eduit queT poss`ede un unique point fixe.
Remarque 14.2. — (1) Si une applicationf : Ω→Rdv´erifie les conditions dans le th´eor`eme, on dit quef est lipschitzienne par rapport `ax. Si pour tout (t0, x0)∈Ω, il existe un voisinage ouvertU de (t0, x0) dans Ω tel que la restriction def `a U soit lipschitzienne par rapport `a x, on dit que l’application f est localement lipschitzienne par rapport `a x. Le r´esultat du th´eor`eme ´etant local, le th´eor`eme est ainsi valable pourf localement lipschitzienne.
(2) L’unicit´e locale que l’on obtient dans le th´eor`eme implique en fait l’unicit´e glob- ale : siJ ⊂I sont deux intervalles ouverts et siγJ et γI sont deux solutions de l’´equation diff´erentielle 14.1 qui co¨ıncident en un point t0 ∈ J, alors pour tout t ∈ J on a γJ(t) = γI(t). Donc il existe un intervalle ouvert I(t0,x0) ⊂ I tel que l’´equation (14.1) admette une solutionγ sur I(t0,x0) qui v´erifie la condition initialeγ(t0) =x0 et que cette solution ne puisse pas s’´etendre en un intervalle contenant strictementI(t0,x0). Cette solution est appel´ee une solution maximale de condition initiale (t0, x0).
