2 Equations diff´ erentielles lin´ eaires

L1 2019-2020, compl´ements de math´ematiques 2 : ´equations fonctionnelles et ´equations diff´erentielles

Antoine Douai February 13, 2020

1 Equations fonctionnelles

1.1 Comment transformer un produit en somme : un exemple d’´equation fonc- tionnelle

Probl`eme : peut-on transformer un produit en somme? En d’autes termes, existe-t-il une (ou des!) fonction(s)f (dont le domaine de d´efinition D<sub>f</sub> est `a pr´eciser) telle(s) que

f(xy) =f(x) +f(y) (1)

pour toutx∈D_f,y∈D_f etxy ∈D_f? Dans ces notes, nous supposeronsf d´erivable.

Tout d’abord, quelques r´eductions :

1. si 0 ∈ D_f et si f v´erifie (1) alors f(0) = f(0) +f(y) pour tout y ∈ D_f et donc f est identiquement nulle : nous supposerons donc que f est d´efinie sur R^∗.

2. Sif v´erifie (1) alorsf(1) =f(1) +f(1) doncf(1) = 0; comme de plusf(1) =f(−1) +f(−1) on en d´eduit quef(−1) = 0 et ainsif(−x) =f(−1) +f(x) =f(x) : f est paire.

Cons´equence : on cherche les solutions de (1) sur R^∗₊. On a alors le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 1.1 Les solutions d´efinies et d´erivables surR<sup>∗</sup>+ de (1) sont les fonctionsf qui v´erifient f<sup>0</sup>(x) = <sup>k</sup><sub>x</sub> o`uk∈R et f(1) = 0.

Preuve. Soit f une solution d´efinie et d´erivable sur R^∗+ de (1). On a vu que f(1) = 0. On a f(xy) =f(x) +f(y) et en d´erivant par rapport `a y on obtient

xf⁰(xy) =f⁰(y) (2)

et doncxf⁰(x) =f⁰(1) en posanty = 1.

R´eciproquement, supposons que f⁰(x) = ^k_x avec k ∈ R et f(1) = 0. On d´efinit la fonction auxiliaire

g(x) =f(xy)−f(x)

qui est d´erivable sur R^∗+ et qui v´erifie g⁰(x) = 0 pour tout x ∈R^∗+. Donc g est constante, g(x) = g(1) =f(y)−f(1) =f(y). Ainsi f v´erifie (1).

1.2 Les fonctions logarithmes

Si on pose k= 1 dans le th´eor`eme pr´ec´edent, on obtient une fonction privil´egi´ee :

D´efinition 1.2 La fonction logarithme n´ep´erien est la primitive de la fonction continuet7→ ¹_t qui s’annule en1 :

lnx:=

Z x

1

dt

t . (3)

Il est facile de voir que ln est strictement croissante sur R^∗+, que ln tend vers +∞ quand x tend vers +∞et que ln tend vers−∞quandxtend vers 0 par valeurs sup´erieures (voir td). La fonction ln est une bijection deR^∗₊ surR.

Plus g´en´eralement, nous avons vu que les solutions de l’´equation fonctionnelle (1) sont de la formef(x) = klnx o`u k ∈R. Sik 6= 0, on peut ´ecrire k= _ln¹_a (a6= 1) et ainsif(x) = ^ln_ln^x_a. Ceci motive la d´efinition suivante :

D´efinition 1.3 Soit a6= 1 . On appelle ”fonction logarithme de base a” la fonction

log_a:R^∗+→R (4)

d´efinie par x7→ ^ln_ln^x_a.

Remarque(s) 1.4 Les solutions de l’´equation fonctionnelle (1) sont donc les fonctions logarithmes.

1.3 Les fonctions exponentielles

D´efinition 1.5 On appelle la fonction r´eciproque de la fonction logarithme n´ep´erien ”fonction exponentielle” et on la note

exp :R7→R^∗+. (5)

Proposition 1.6 1. La fonction exp est d´erivable sur Ret exp⁰(x) = exp(x) pour tout x∈R. 2. La fonction expv´erifie exp(x+y) = exp(x) exp(y) pour tout x, y∈R.

Preuve. Pour la d´erivabilit´e de exp utiliser le th´eor`eme sur la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque et pour le deuxi`eme point utiliser l’´equation fonctionnelle satisfaite par ln.

Remarque(s) 1.7 De l’´equation fonctionnelle satisfaite par exp on tire exp(^p_q) = exp(1)

p q. On notee:= exp(1)et, si x est r´eel, exp(x) :=e^x.

Plus g´en´eralement, on peut s’int´eresser aux r´eciproques des fonctions logarithmes de base quel- conque :

D´efinition 1.8 On appelle ”exponentielle de base a” la fonction

exp_a:R7→R^∗₊. (6)

d´efinie par x7→exp(xlna). On note aussi exp(xlna) :=a^x

1.4 Fonctions puissance

Les fonctions exponentielles et logarithmes servent `a plein de choses. On sait d´efinir 2<sup>3</sup>. Tr`es bien.

Mais qu’est-ce-que 2^π?

D´efinition 1.9 Soit aun nombre r´eel strictement positif et b un nombre r´eel. On d´efinit

a^b:= exp(bln(a)). (7)

La condition aest strictement positif est claire : il faut pouvoir d´efinir ln(a).

2 Equations diff´ erentielles lin´ eaires

Soient I et J deux intervalles ouverts deRet

F :I×J →R. D´efinition 2.1 Une solution de l’´equation diff´erentielle

y⁰ =F(x, y) (8)

est une fonction y ayant les propri´et´es suivantes :

• y est d´efinie sur un intervalle U ⊂I,

• y prend ses valeurs dans l’intervalle J, y:U →J,

• y est d´erivable sur U et y⁰(x) =F(x, y(x)) pour tout x∈U.

L’ouvert I×J s’appelle ledomaine de l’´equation. R´esoudre (8) c’est trouver toutes ses solutions.

Les questions que l’on se pose en g´en´eral sont les suivantes : existence des solutions (et si oui, sur quels intervalles? C’est un probl`eme en g´en´eral tr`es difficile), unicit´e de ces solutions ´etant donn´ee une condition initiale. Le paragraphe qui suit pr´ecise et r´epond `a ces questions dans un cas tout

`

a fait ´el´ementaire. Nous utilisons la fonction exponentielle comme outil principal, ce qui explique entre autres la premi`ere partie du chapitre.

2.1 Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1 Ce sont des ´equations diff´erentielles du type

y⁰ =a(x)y+b(x) (9)

o`uaetbsont des fonctions d´efinies sur un mˆeme intervalleIdeR. Avec les notations du paragraphe pr´ec´edent,F(x, y) =a(x)y+b(x),J =Ret le domaine de l’´equation estD=I×R. best lesecond membre de l’´equation (9). Sib= 0 etI =R, l’´equation (9) est dite homog`ene.

Lemme 2.2 Les solutions de l’´equation lin´eaire et homog`ene

y⁰=a(x)y (10)

forment un espace vectoriel sur R.

Preuve. Siλ₁ etλ₂ sont deux nombres r´eels,y₁ ety₂ deux solutions, on v´erifie imm´ediatement que λ1y1+λ2y2 est aussi solution de (10).

Proposition 2.3 On suppose quea:I →R est continue sur I. Soit A :I → Rune primitive de a. Les solutions de l’´equation diff´erentielle (10) sont les fonctions y:I →R,y(x) =λexpA(x) o`u λ∈R.

Preuve. Si y(x) = λexpA(x) on a ´evidemment y⁰(x) = a(x)y(x) pour tout x ∈ I et donc y est solution de (10). Si maintenant y est solution de (10), posons C(x) = y(x) exp(−A(x)). Alors C⁰(x) = 0 pour toutx∈I et doncC(x) =λpour λ∈R. Ainsi, y(x) =λexpA(x).

Remarque(s) 2.4 1. Les solutions de (10) sont d´efinies sur I tout entier.

2. L’espace vectoriel des solutions de (10) est de dimension 1.

3. Soit x₀∈I et y₀∈R. Alors il existe uneuniquesolution de (10) v´erifianty(x₀) =y₀ : on a en effetλ=y0exp(−A(x₀)).

Proposition 2.5 On suppose que a est continue. Alors les solutions de (9) sont les fonctions y : x 7→ λexpA(x) +s(x) o`u A est une primitive de a, λ ∈ R et s une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (9).

Preuve. La fonctionx7→λexpA(x) +s(x) est bien entendu solution. Siy est une solution de (9), alorsy−sest solution de (10) et doncy(x) =λexpA(x) +s(x) d’apr`es la proposition 2.3.

Corollaire 2.6 Soitx0 ∈I ety0∈R. Siaetbsont des fonctions continues, il existe uneunique solution y de (9) telle que y(x₀) =y₀.

R´esum´e : Pour r´esoudre (9), il suffit de r´esoudre (10) et de trouver une solution particuli`ere de (9). Pour trouver cette solution particuli`ere on peut (si il n’y en a pas d’´evidente) utiliser la bien nomm´eem´ethode de la variation de la constante: on la cherche sous la formes(x) =λ(x) expA(x) o`u λ est maintenant une fonction (d´erivable!). On trouve alors que λ v´erifie l’´equation λ⁰(x) = b(x) exp(−A(x)) et on obtient λpar int´egration, pourvu que bsoit elle aussi continue.

2.2 Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients constants Ce sont des ´equations diff´erentielles du type

y⁰⁰+ay⁰+by=c(x) (11)

o`u a et b sont des nombre r´eels et c est une fonction d´efinie sur intervalle I de R (en pratique, I = R etc est continue sur R). La fonction c est le second membre de l’´equation (11). Si c = 0, l’´equation (11) est dite homog`ene.

Lemme 2.7 Les solutions de l’´equation lin´eaire et homog`ene

y⁰⁰+ay⁰+by= 0 (12)

forment un espace vectoriel sur R.

Preuve. Siλ₁etλ₂sont deux nombres r´eels,y₁ety₂deux solutions de (12), on v´erifie imm´ediatement queλ1y1+λ2y2 est aussi solution de (12).

On appelle l’´equation

r²+ar+b= 0 (13)

l’´equationcaract´eristiquede l’´equation homog`ene (12). Les solutions de cette ´equation sont diff´erentes si on les cherche complexes ou r´eelles. On regarde d’abord le cas complexe et on en d´eduit le cas r´eel.

Si x,a et b sont des nombres r´eels on d´efinit e^(a+ib)x =e^axe^ibx =e^ax(cos(bx) +isin(bx)). La fonctionx7→e^(a+ib)x est d´erivable et (e^(a+ib)x)⁰ = (a+ib)e^(a+ib)x.

Th´eor`eme 2.8 (Solutions `a valeurs complexes)

1. On suppose que l’´equation caract´eristique (13) a deux racines (´eventuellement complexes) distinctes r1 et r2. Alors les solutions y :R −→ C de l’´equation lin´eaire et homog`ene (12) y<sup>00</sup>+ay<sup>0</sup>+by= 0 sont les fonctions de la forme y 7→C<sub>1</sub>e<sup>r1x</sup>+C<sub>2</sub>e<sup>r2x</sup> o`u C₁ et C₂ sont deux constantes complexes.

2. On suppose que l’´equation caract´eristique (13) a une racine double r. Alors les solutions y:R−→C de l’´equation lin´eaire et homog`ene (12) y<sup>00</sup>+ay<sup>0</sup>+by= 0 sont les fonctions de la forme y7→(C1x+C2)e<sup>rx</sup> o`uC1 et C2 sont deux constantes complexes.

Preuve. Soit r une solution de (13) et y une solution de (12). On pose z =e^−rxy. Comme y est solution de (12), z verifie

z⁰⁰+ (2r+a)z⁰= 0 qui est une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1.

• Premier cas : on a 2r+a6= 0; alorsz⁰ =Ce^−(2r+a)x donc z=C1e^−(2r+a)x+C2 et y =C₁e^−(r+a)x+C₂e^rx =C₁e^r1x+C₂e^r2x

(si r est racine de (13) alors−(r+a) l’est aussi).

• Deuxi`eme cas : on a 2r+a= 0; alors z<sup>00</sup> =C doncz=C1x+C2 ety= (C1x+C2)e<sup>rx</sup>. Le premier cas correspond `a l’existence de deux racines distinctes, le deuxi`eme `a l’existence d’une racine double.

Th´eor`eme 2.9 (Solutions `a valeurs r´eelles)

1. On suppose que l’´equation caract´eristique (13) a deux racines r´eelles distinctesr₁ etr₂. Alors les solutions y :R−→ R de l’´equation lin´eaire et homog`ene (12) y<sup>00</sup>+ay<sup>0</sup>+by = 0 sont les fonctions de la forme y7→C1e<sup>r1x</sup>+C2e<sup>r2x</sup> o`uC1 et C2 sont deux constantes r´eelles.

2. On suppose que l’´equation caract´eristique (13) a une racine r´eelle doubler. Alors les solutions y:R−→R de l’´equation lin´eaire et homog`ene (12) y<sup>00</sup>+ay<sup>0</sup>+by= 0 sont les fonctions de la forme y7→(C<sub>1</sub>x+C<sub>2</sub>)e<sup>rx</sup> o`uC₁ et C₂ sont deux constantes r´eelles.

3. On suppose que l’´equation caract´eristique (13) a deux racines complexes conjugu´eesα+iβ et α−iβ. Alors les solutionsy:R−→Rde l’´equation lin´eaire et homog`ene (12)y<sup>00</sup>+ay<sup>0</sup>+by = 0 sont les fonctions de la forme y 7→ e<sup>αx</sup>(C<sub>1</sub>cos(βx) +C<sub>2</sub>sin(βx)) o`u C₁ et C₂ sont deux constantes r´eelles.

Preuve. On utilise le th´eor`eme pr´ec´edent en ajustant les constantes pour que les solutions trouv´ees soient maintenant `a valeur dans R.

Remarque(s) 2.10 1. Les solutions de (12) sont d´efinies sur R tout entier.

2. L’espace vectoriel des solutions de (12) est de dimension 2.

3. Soit x0 ∈ R et y0, y₀⁰ ∈ R. Alors il existe une unique solution de (10) v´erifiant y(x0) = y0 et y⁰(x0) =y⁰₀.

Proposition 2.11 Les solutions de (11) sont les fonctionsy:x7→y_h(x) +s(x) o`uy<sub>h</sub> est solution de (12) et sune solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (11).

Preuve. La fonctionx7→yh(x) +s(x) est bien entendu solution. Siyest une solution de (11), alors y−sest solution de (12) et doncy=y_h+s.

Corollaire 2.12 Soitx₀ ∈I et y₀∈R. Sic est une fonction continue sur Ril existe uneunique solution y de (11) telle que y(x₀) =y₀ et y⁰(x₀) =y⁰₀.