Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1 et 2

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Travaux Dirig´ es no. 1 Rappels

Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1 et 2

Exercice 1

D’apr` es une loi due ` a Newton, le taux de refroidissement d’un corps plong´ e dans de l’air plus froid est proportionnel ` a la diff´ erence de temp´ erature entre ce corps et l’air.

1. ´ Ecrire l’´ equation diff´ erentielle satisfaite par la temp´ erature.

2. Si, dans de l’air ` a 20 <sup>◦</sup> , ce corps met 20 minutes pour passer de 100 <sup>◦</sup> ` a 60 ^◦ , combien de temps met-il pour atteindre 30 ^◦ .

3. On regarde maintenant l’´ evolution de la temp´ erature du sol. On suppose pour simplifier que la temp´ erature de l’air varie de fa¸ con r´ eguli` ere : T _air (t) = −5 + 35 cos(2πt/365), et que le sol et l’air ont initialement la mˆ eme temp´ erature.

4. Mˆ eme question avec une variation brusque de la temp´ erature en une nuit : T air (t) = 25 − 25t ² .

Exercice 2

Des nutriments entrent dans une cellule ` a la vitesse constante de R mol´ ecules par unit´ e de temps, et en sortent proportionnellement ` a la concentration : si N est la concentration

`

a l’instant t, le processus ci-dessus se mod´ elise par l’´ equation:

dN

dt = R − KN.

Int´ egrer cette ´ equation. Y a-t-il un ´ equilibre (i.e. une solution constante) ? La concen- tration va-t-elle tendre vers un ´ equilibre (i.e. l’´ equilibre est-il stable) ?

Exercice 3

R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes. Sur quel intervalle la solution existe-t-elle

?

(a) y ⁰ − y = t − 2e ^t (b) (1 + t ² )y ⁰ + ty = 0

(c) (t ³ − 1)y ⁰ + ty = 0 (d) y ⁰ cos(t) + y sin(t) = 2 cos(t) Exercice 4

R´ esoudre le probl` eme de Cauchy suivant (Equations lin´ eaires d’ordre 1 avec second mem- bre).

(

u ⁰ (t) = (t ² + 1)u(t) + 5e

3 3

u(0) = u ₀

o` u u 0 ∈ R .

Exercice 5

R´ esoudre les probl` emes de Cauchy suivants (Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2

`

a coefficients constants).







u ⁰⁰ (t) = 5u(t) ⁰ − 6u(t) u(0) = 3

u ⁰ (0) = 2







u ⁰⁰ (t) = 2u(t) ⁰ − u(t) + sin(t) u(0) = 0

u ⁰ (0) = 4







u ⁰⁰ (t) = 2u(t) ⁰ − 3u(t) u(0) = 0

u ⁰ (0) = 0 Exercice 6

V´ erifier que la fonction t 7→ e ^t est solution de l’´ equation diff´ erentielle (t + 1)y ⁰⁰ − y ⁰ − ty = 0.

D´ eterminer une autre solution de cette ´ equation, non proportionnelle ` a la premi` ere.

Exercice 7

R´ esoudre u ⁰ = |u| sur R.

Suites et s´ eries de fonctions

Exercice 8

Soit I ⊂ R un intervalle. Montrer que l’ensemble C ⁰ (I, K ^N ) des applications continues de I dans K ^N est un espace vectoriel norm´ e complet pour la “norme de la convergence uniforme” :

k v k _∞ := sup

t∈I

k v(t) k _? .

Exercice 9

Soit α ≥ 0. Pour tout n ∈ N ^∗ et x ∈ [0, 1] on pose f _n (x) = n ^α x ⁿ (1 − x).

1. Montrer que la suite de fonctions {f _n } converge simplement sur [0, 1] vers une fonc- tion limite que l’on d´ eterminera.

2. Pour quelles valeurs de α la suite {f _n } converge-t-elle uniform´ ement sur [0, 1] ? 3. Montrer que {f _n } converge uniform´ ement sur tous compacts de ]0, 1[ pour tout

α ≥ 0.

Exercice 10

Soit f : ]1, +∞[→ R une fonction continue telle que R +∞

1 s|f (s)| ds < ¹ ₂ . On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle scalaire suivante:

u ⁰⁰ + f (t)u = 0 . (2)

Pour trouver une solution particuli` ere de cette ´ equation, nous allons construire par r´ ecurrence une suite de fonctions {u _n } _{n∈ N} de la fa¸ con suivante: on pose u ₀ (t) = 1, et pour tout n ∈ N et t ∈ ]1, +∞[ ,

u n+1 (t) = 1 + Z +∞

t

(t − s)u n (s)f (s) ds .

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1. Montrer par r´ ecurrence que pour tout n ∈ N , l’int´ egrale R +∞

t (t − s)u n (s)f (s) ds est absolument convergente, que u _n est born´ ee, et que u _n est une fonction de classe C ² sur ]1, +∞[ .

2. Montrer que pour tout n ∈ N et t ∈ ]1, +∞[ ,

|u _n+1 (t) − u n (t)| ≤

Z +∞

t

s|f (s)| ds n+1

.

3. En utilisant la question pr´ ec´ edente, montrer que la suite {u _n } _{n∈ N} converge uni- form´ ement vers une fonction u ∗ born´ ee telle que

u ∗ (t) = 1 + Z +∞

t

(t − s)u ∗ (s)f(s) ds .

4. Montrer que la fonction u ∗ est solution de l’´ equation (??) sur ]1, +∞[, et que

t→+∞ lim u ∗ (t) = 1 , lim

t→+∞ u ⁰ _∗ (t) = 0 .

In´ equations diff´ erentielles

Exercice 11

Soit f : [0, 1] → R + une fonction d´ erivable qui v´ erifie l’in´ egalit´ e diff´ erentielle suivante pour tout x ∈]0, 1[,

f (x) ≤ Cx ^2+α + xf ⁰ (x), (3)

o` u C ≥ 0 et α > 0 sont des constantes.

1. Montrer que l’´ enonc´ e est non vide (i.e. il existe de telles fonctions f ).

2. Montrer que la limite lim

x→0

f (x)

x existe et est finie.

Exercice 12

Soit f : [0, 1] → R une fonction C ¹ qui v´ erifie l’in´ egalit´ e diff´ erentielle suivante pour tout x ∈ [0, 1],

f (x) ≤ αxf ⁰ (x), (4)

o` u α > 0. Montrer alors que pour tout x ∈ [0, 1], f (x) ≤ x

f (1).

Exercice 13

Soit f : R → R + une fonction continue telle que

x→+∞ lim f (x) = 0

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et soit u : R ⁺ → R ⁺ une fonction de classe C ¹ qui v´ erifie 0 ≤ p

u(x) + u ⁰ (x) ≤ f (x), ∀x ∈ R ⁺ . (5) On souhaite montrer alors que

x→+∞ lim u(x) = 0. (6)

1. Montrer que (??) est vrai lorsque u est d´ ecroissante ` a partir d’un certain x <sub>0</sub> . 2. Montrer que si u ne tend pas vers 0 et n’est pas d´ ecroissante ` a partir d’un certain

temps, alors il existe un ε > 0 et une suite x n qui tend vers +∞, telle que u(x n ) > ε et u ⁰ (x _n ) > 0.

3. Conclure.

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