1- Montrer que la s´erie de fonctions P fn converge simplement sur ]0

Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2004/05 MT231

Samedi 20 novembre Partiel

Dur´ee : 3h - Bar`eme indicatif : 4,5 - 6 - 4 - 5,5.

I

Pour chacune des s´eries num´eriques suivantes dire si elle est convergente ou divergente :

X

n≥1

√1

n! , X

n≥1

n n+ 1

n

, X

n≥1

(−1)ⁿ 2n+ (−1)ⁿ.

II Pour tout n∈N et tout r´eel x≥0, on pose

f_n(x) = 1 1 +xn² . 1- Montrer que la s´erie de fonctions P

f_n converge simplement sur ]0,+∞[.

On posera

f(x) =

∞

X

n=0

f_n(x) , ∀x >0.

2- Soit un r´eel a >0. Montrer que la s´erie de fonctions P

f_n converge nor- malement sur [a,+∞[.

3- Montrer que f est une fonction continue sur ]0,+∞[.

4- Montrer que f est d´erivable sur ]0,+∞[.

5- Soit un r´eel α ∈]1/2,1[ et soit g_n(x) = x^αf_n(x). Montrer que la s´erie de fonctions P

g_n converge normalement sur [0,+∞[.

6- (Hors bar`eme) En d´eduire que f(x) = o x^−α

, quand x→0 + .

III

D´eterminer les rayons de convergence des s´eries enti`eres suivantes :

X

n≥0

xⁿ

8ⁿ , X

n≥1

xⁿ

n²8ⁿ , X

n≥0

x³ⁿ

8ⁿ , X

n≥0

xⁿ² 8ⁿ .

IV Pour tout n∈N^∗ et tout r´eel x, on pose

fn(x) = x²ⁿ⁺¹ n(2n+ 1). On posera

f(x) =

∞

X

n=1

f_n(x), pour tout r´eel x tel que la s´erie P

f_n(x) converge

1- Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P

f_n est ´egal `a 1.

2- Montrer que f est d´efinie et de classe C² sur l’intervalle ]−1,1[. Calculer la d´eriv´ee seconde f⁰⁰(x), pour tout x∈]−1,1[.

3- Montrer que la s´erie de fonctions P

f_n converge normalement sur [−1,1].

4- Calculerf(x) pour toutx∈]−1,1[.Indication : on rappelle que la fonction x 7→ xlnx− x est une primitive de la fonction x 7→ lnx sur l’intervalle ]0,+∞[.

5- Des questions 3 et 4, d´eduire la valeur de

∞

X

n=1

1 n(2n+ 1).