Universit´e Pierre-et-Marie Curie-Paris 06 LM 257 Examen 3, 2011-2012
(Dur´ee 2 heures; sans document ni calculatrice) Exercice I
Soitβ un r´eel strictement positif. On consid`ere la s´erie de fonctions sur [0,+∞[ de terme g´en´eral n∈N?, un(t) =n tnβe−tn.
1)Etudier les variations de la fonctionf(t) =tβe−tsur [0,+∞[ et trouver son maximum.
2) En remarquant que un(t) =nf(t)n, en d´eduire que la condition β < e est n´ecessaire et suffisante pour que la s´erie de fonctions de terme g´en´eralun converge simplement sur [0,+∞[.
3)Montrer que, si cette condition est v´erifi´ee, la s´erie de fonctions converge normalement sur [0,+∞[.
Dans la suite, on supposeβ < e.
On notes: [0,+∞[→Rla somme de la s´erie de fonctions de terme g´en´eralun (n≥1).
4)Montrer que la fonction sest continue sur [0,+∞[
5) En v´erifiant que u0n(t) =−nun(t) +nβun(t)
t et en traitant s´epar´ement les deux termes, montrer que la fonctionsest d´erivable sur ]0,+∞[.
Exercice II
On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´enaire du premier ordre : (E) 3(1 +x)y0+y= 0 1) Soit (an)n∈N une suite telle a0 = 1 etx−→S(x) =P+∞
n=0anxn est solution de (E) dans un intervalle ]−R, R[. Montrer que la suite (an)n∈N v´erifie 3(n+ 1)an+1+ (3n+ 1)an= 0 pour toutn≥0.
2)Montrer que la s´erie enti`ere de terme g´en´eralanzn a pour rayon de convergenceR= 1.
On noteS(z) =P+∞
n=0anzn sa somme d´efinie pour|z|<1.
3)Montrer que pour toute solutiony de (E), la fonctionx−→(1 +x)1/3y(x) est constante.
4)En d´eduire queS(x) = 1
(1 +x)1/3 pour tout|x|<1.
Exercice III 1)Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z 1
0
√ t
1−t4dtconverge.
2) Montrer que la fonction t
√1−t4, d´efinie pourt∈]−1,+1[ est d´eveloppable en s´erie enti`ere `a l’origine.
Calculer les coefficients de la s´erie enti`ere obtenue et donner son rayon de convergence.
(On rappelle que 1 (1−x)1/2 =
+∞
X
n=0
1.3.5. . .(2n−1) 2.4. . . .(2n) xn=
+∞
X
n=0
C2nn 22nxn.) 3)Montrer que pour x∈[0,1[, on a :
Z x
0
√ t
1−t4dt=
+∞
X
n=0
C2nn 22n
x4n+2 4n+ 2 4)En utilisant le th´eor`eme de Fubini positif, justifier l’identit´e suivante :
Z 1
0
√ t
1−t4dt=
+∞
X
n=0
C2nn 22n(4n+ 2).
1
