Universit´e Pierre-et-Marie Curie-Paris 06 LM 257 Corrig´e de l’Examen 3, 2011-2012
Exercice I
1)La fonctionf(t) =tβe−t est croissante sur [0, β], puis d´ecroissante sur [β,+∞].
Elle atteint son maximum pourt=β etf(β) =ββe−β=e−β(1−lnβ).
2)La s´erie de fonctions de terme g´en´eralun(t) =ntnβe−tn=nf(t)n convergence simplement sur [0,+∞] si et seulement sif(t)<1 pour toutt∈[0,+∞[, c’est `a dire si et seulement sif(β)<1.
Ore−β(1−lnβ)<1 ⇐⇒ 1−lnβ >0 ⇐⇒ β < e.
3) De plus, on a kunk = sup{|un(t)|, t ∈ [0,+∞[} = nf(β)n. On en d´eduit que la s´erie de fonctions convergence normalement sur [0,+∞] si et seulement siβ < e.
4)Pour β < e, la sommesde la s´erie de fonctions de terme g´en´eralun(t) est continue sur [0,+∞[ puisque la convergence est normale sur cet intervalle.
5)On au0n(t) =−nun(t) +nβun(t)
t . Le premier terme est ´evidemment une s´erie normalement convergente sur [0,+∞[ carknun(t)k ≤n2f(β)n.
Pour le deuxi`eme terme, on prenda >0 et pourt∈[a,+∞[, on ´ecrit: knβun(t)
t k ≤ n2β
a f(β)n, qui est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.
La s´erie de terme g´en´eral u0n(t) est donc normalement convergente sur [a,+∞[ et donc la sommes est d´erivable sur [a,+∞[.
Comme ceci est vrai pour touta >0 , on en d´eduit par un argument de localisation quesest d´erivable sur ]0,+∞[.
Exercice II 1)Si x−→S(x) =P+∞
n=0anxn est solution de (E) dans un intervalle ]−R, R[, on a:
3(1 +x)
+∞
X
n=1
nanxn−1+
+∞
X
n=0
anxn= 0 soit par un changement d’indice dans la premi`ere somme:
+∞
X
n=0
3(n+ 1)an+1xn+
+∞
X
n=1
3nanxn+
+∞
X
n=0
anxn= 0 En identifiant les coefficients dexn, ceci implique, pour toutn≥0:
3(n+ 1)an+1+ 3nan+an= 0 2)La s´erie enti`ere de terme g´en´eralanzn v´erifie:
an+1 an
= 3n+ 1 3(n+ 1) →1 lorsquen→ ∞. Elle a donc bien pour rayon de convergence R= 1.
3)En d´erivant la fonction (1 +x)1/3y(x), on trouve:
1
3(1 +x)−2/3y+ (1 +x)1/3y0 1
En multipliant par 1
3(1 +x)−2/3, ceci vauty+ 3(1 +x)y0. Donc si y est solution de (E), la d´eriv´ee de la focntion (1 +x)1/3y(x) est nulle donc cette fonction est bien constante.
4) On en d´eduit que toute solution de (E) s’´ecrity= c
(1 +x)1/3, o`u cest une constante. Or la fonction S est solution de (E) pourx <1 et v´erifieS(0) =a0= 1. Par suite,S(x) = 1
(1 +x)1/3 pour|x|<1.
Exercice III 1) L’int´egrale g´en´eralis´ee
Z 1
0
√ t
1−t4dt a une seule singularit´e en 1 puisque la fonction positive t
√1−t4 est continue sur [0,1[ et qu’elle n’est pas d´efinie en 1.
Or t
√
1−t4 ∼1
1 2√
2√ 1−t.
Le th´eor`eme de comparaison s’applique et comme l’int´egrale g´en´eralis´ee de la fonction 1
√1−t converge sur [0,1], celle de la fonction t
√1−t4 aussi.
2)La fonction t
√
1−t4, d´efinie pourt∈]−1,+1[ est d´eveloppable en s´erie enti`ere `a l’origine comme compos´ee de fonctions d´eveloppable en s´erie enti`ere `a l’origine.
Les coefficients de la s´erie enti`ere sont obtenus par un changement de variablex=t4, `a partir de ceux de la s´erie enti`ere, de rayon de convergence 1:
1 (1−x)1/2 =
+∞
X
n=0
1.3.5. . .2n−1 2.4. . . .(2n) xn =
+∞
X
n=0
C2nn 22nxn D’o`u:
√ t
1−t4 =
+∞
X
n=0
C2nn 22nt4n+1 Le rayon de convergence de cette s´erie est 1.
3) Pour x∈[0,1[, la s´erie enti`ere de terme g´en´eral C2nn
22nt4n+1 est normalement convergente sur [0, x] et on peut donc l’int´egrer terme `a terme, soit:
Z x
0
√ t
1−t4dt=
+∞
X
n=0
C2nn 22n
x4n+2 4n+ 2
4) On v´erifie les hypoth`eses du th´eor`erme de Fubini positif: les fonctionsun(t) = C2nn
22nt4n+1 sont continues positives et la s´erie de fonctions de terme g´en´eral un converge normalement sur tout intervalle [0, x[ pour tout 0< x <1. On peut donc intervertir l’int´egrale et la somme sur l’intervalle [0,1], soit :
Z 1
0
√ t
1−t4dt=
+∞
X
n=0
C2nn 22n(4n+ 2)
2
