La série de terme général vn est donc divergente

(1)

LM 260 B

Corrig´e du Partiel du 15 novembre 2013 Exercice 1

1)On ´ecrit :

ln (n+ (−1)ⁿ) = lnn+ ln

1 +(−1)ⁿ n

= lnn+

(−1)n n +O

1 n²

= lnn

1 + (−1)ⁿ nlnn +O

1 n²lnn

. D’o`uun= (−1)ⁿ

lnn

1

(1 + (⁽⁻¹⁾_n_ln_nⁿ) +O _n2¹lnn

!

= (−1)ⁿ lnn

1−(−1)ⁿ nlnn +O

1 n²lnn

= (−1)ⁿ lnn − 1

nln²n+O 1

n²ln²n

. Le terme général est la somme de 3 termes généraux de séries convergente et donc cette série converge.

2) On avn = (−1)ⁿ lnn − 1

ln²n+O 1

ln²n

. La série de terme général (−1)ⁿ

lnn est convergente car c’est une série alternée alors que la série de terme général 1

ln²n+O 1

ln²n

est divergente. La série de terme général vn est donc divergente.

3) On ´ecrit wn = eⁿ¹

1−exp( 1 n+a −1

n)

. Or ( 1 n+a − 1

n) = 1 n

1 1 + ^a_n −1

= 1 n

−a

n+O( 1 n²)

. Doncwn =eⁿ¹

−a

n² +O( 1 n³)

. La série de terme généralwn est donc convergente.

Exercice 2 1)Pourt∈[nπ

2,(n+1)π

2], on a: 1

1 + (n+ 1)^π₂^β

sin²(t) ≤ 1

1 +t^βsin²(t) ≤ 1 1 + n^π₂^β

sin²(t). En intégrant ces inégalités membre à membre sur [nπ

2,(n+ 1)π

2] et en utilisant les valeurs µn =

(n+ 1)π 2

^β₂

et λn = nπ

2 ^β₂

, on obtient les in´egalit´es:

Z ^(n+1)π₂

n^π₂,

dt

1 +µ²_nsin²(t) ≤un≤

Z ^(n+1)π₂

n^π₂,

dt

1 +λ²_nsin²(t). Par périodicité de la fonction sin²(t), ces inégalités deviennent : In =

Z ^π₂

0

dt

1 +µ²_nsin²(t) ≤un≤ Z ^π₂

0

dt

1 +λ²_nsin²(t)=Jn. 2)En utilisant l’in´egalit´e sin(t)≤t, on obtient: In≥

Z ^π₂

0

dt

1 +µ²_nt² =arctan(µnπ 2) µn

. De même, en utilisant l’inégalité 2

πt≤sin(t), on obtient: Jn≤ Z ^π₂

0

dt 1 + _π²2

λ²nt² = π 2

arctan(λn) λn

.

3) Comme arctan(µnπ 2) µn

∼n→+∞

π 2

2 π

^β2 1 n^β² et π

2

arctan(λn) λn

∼n→+∞

π 2

22 π

^β2 1

n^β², en appliquant deux fois le théoprème de comparaison des séries à termes positifs, on en déduit que la série de terme général un converge si et seulement siβ >2.

4)Comme

Z (n+1)^π₂

0

dt

1 +t^βsin²(t) =

n

X

k=0

uk, et que de plus, l’int´egrale Z ^x

0

dt

1 +t^βsin²(t)est croissante comme fonction de sa borne supérieure, on en déduit que l’intégrale généralisée est convergente si et seulement si la série de terme généralun est convergente c’est-à-dire si et seulement siβ >2.

1

(2)

Exercice 3

1) Pourt= 0, la suite est nulle donc converge vers 0. Pour t6= 0 fix´e, la suite converge vers 2t (quotient des termes de plus haut degr´e enn) . Cette suite de fonctions converge donc simplement sur [0,+∞[ et sa limite vautf(t) = 2t.

2)On calculegn(t) =fn(t)−2t= −2t²

t+n. Comme lim

t→+∞|fn(t)−2t|= +∞, alors sup

t∈[0,+∞[

|fn(t)−2t|= +∞.

La convergence de la suite (fn)n∈N^∗ n’est pas uniforme sur l’intervalle [0,+∞[.

3) Soit [0, b] un sous-intervalle de [0,+∞[. Comme g^′_n(t) = −2t(t+ 2n)

(t+n)² , la fonction gn est n´egative et d´ecroissante sur [0,+∞[ . Alors sup

t∈[0,b]

|fn(t)−2t|=|fn(b)−2b| →0 quandn→+∞. La convergence de la suite (fn)n∈N^∗ est uniforme sur [0, b].

4)On calculef_n^′(t) = 2n²

(t+n)². Cette suite converge simplement vers la fonction constante ´egale `a 2.

Comme lim

t→+∞|fn^′(t)−2|= lim

t→+∞

−2t(t+ 2n) (t+n)²

= 2, alors sup

t∈[0,+∞[

|fn^′(t)−2| ≥2. La convergence de la suite (fn^′)n∈N^∗ n’est pas uniforme sur l’intervalle [0,+∞[.

5) On posehn(t) =f_n^′(t)−2 = −2t(t+ 2n)

(t+n)² . Commeh^′_n(t) = −4n²

(t+n)³, la fonction hn est d´ecroissante sur [0,+∞[. Alors sup

t∈[0,b]

|f_n^′(t)−2|=|f_n^′(b)−2| →0 quandn→+∞. La convergence de la suite (f_n^′)n∈N^∗ est uniforme sur [0, b].

6)La convergence de la suite (fn)n∈N^∗ ´etant uniforme sur [0, x], on peut intervertir les signes de sommation et d’int´egration, soit lim

n→+∞

Z x

0

fn(t)dt= Z x

0

[ lim

n→+∞fn(t)]dt= Z x

0

2t dt=x². Exercice 4

1) Pour t ∈]−1,+∞[ fixé, la série de terme général un(t) est alternée donc elle converge. La série de fonctions de terme généralun converge donc simplement sur ]−1,+∞[.

2) La majoration du reste d’une s´erie altern´ee donne : |rn(t)| =

+∞

X

k=n+1

un(t)

≤ |un+1(t)| =

1 n+ 1 +t

. Donc sup

t∈[a,+∞[

|rn(t)| ≤ 1

n+ 1 +a →0 quandn→+∞. Cette s´erie converge uniform´ement sur tout intervalle [a,+∞[⊂]−1,+∞[.

3)Pourt∈]−1,+∞[ fixé, la série de terme généralu^′_n(t) = (−1)ⁿ

(n+t)² est absolument convergente.

C’est aussi une série alternée et comme à la question 2), on majore son reste pour tout t ∈ [a,+∞[ par 1

(n+ 1 +a)² →0 quandn→+∞.

La série converge uniformément sur tout intervalle [a,+∞[⊂]−1,+∞[. La fonctionsest donc de classeC¹ sur tout intervalle [a,+∞[ et donc par un argument de saturation sur ]−1,+∞[. La dérivées^′ des est la somme de la série de fonction de terme généralu^′_n, soit : ∀t∈]−1,+∞[, s^′(t) =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ (n+t)². 4)On a π²

6 =

+∞

X

n=1

1 (2n)² +

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² =π² 24+

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)². Donc

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = π² 6 −π²

24 = π² 8 . 5)Comme la série numérique de terme généralu^′_n(0) est absolument convergente, on peut intervertir l’ordre de la sommation et doncs^′_n(0) =

+∞

X

n=1

1 (2n)² −

+∞

X

n=0

1

(2n+ 1)² = π² 24 −π²

8 =−π² 12.

2