D´eterminez un ´equivalent simple et la limite de la suite de terme g´en´eral u n =

MPSI 2 : Exercices 14 1 Suites

Ex 1 Facile

En utilisant les ´equivalents, d´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral u _n = n ln

r n + 1 n − 1 Ex 2 Facile

D´eterminez un ´equivalent simple et la limite de la suite de terme g´en´eral u _n =

q n + p

n 2 + 1 − q

n + p n 2 − 1

Ex 3 Facile

Soit x ∈ R. D´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral u _n =

n n − x

_n

Ex 4 Facile

Trouvez un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral u _n = n ^1/n − 1

Ex 5 Facile

D´eterminer un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral

u _n = ln(5 + n ² + n ) − ln( n ² − n + 3)

Ex 6 Facile

Trouvez un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral u _n = e ^sin √

n

− cos 1

√

n Ex 7 Facile

Trouver un ´equivalent simple de la suite de terme g´en´eral u _n =

tan

π 3 + 1

n _n

Ex 8 Difficile

On consid`ere un r´eel a > 0 et la suite r´ecurrente d´efinie par : ( u ₀ = a

∀ n ∈ N , u _n+1 = u 2 n + u _n a. Montrer que la suite ( u _n ) diverge vers +∞.

b. On consid`ere la suite ( v _n ) d´efinie par

∀ n ∈ N , v _n = 1 2 ⁿ ln( u _n ) Montrer que ( v _n ) est une suite croissante.

c. En majorant pour n ∈ N, v _n+1 − v _n , montrer que la suite ( v _n ) est major´ee.

d. La suite ( v _n ) est donc convergente. On note α sa limite. Montrer que ∀( n,p ) ∈ N ² , on a 0 ≤ v _n+p+1 − v _n ≤ 1

2 ⁿ ln 1 + 1 u _n

e. En d´eduire que u _n ∼

n→+∞ e ²

^α .

MPSI 2 : Exercices 14 2 Suites

Corrig´ e des exercices Q 1 Ecrivons pour n ∈ N :

u _n = n 2 ln

1 + 2

n − 1

Comme 2

n − 1 → 0, ln(1 + 2

n − 1 ) ∼ 2 n − 1 ∼ 2

n et donc u _n → 1.

Q 2 En utilisant les quantit´es conjugu´ees, ´ecrivons :

u _n = 2

p n + √ n 2 + 1 + p

n + √ n 2 − 1 √ n 2 + 1 + √ n 2 − 1 = 2 v _n w _n

Ensuite, on cherche un ´equivalent de chaque partie du produit. En factorisant les termes dominants dans les sommes, ´ecrivons

v _n = √ n



 s

1 + r

1 + 1 n 2 +

s 1 +

r 1 − 1

n 2



 Comme le crochet tend vers 2 √

2, il est ´equivalent `a cette limite non-nulle et finalement v _n ∼ 2 √ 2 n . De la mˆeme fa¸con,

w _n = n

"r 1 + 1

n 2 + r

1 − 1 n 2

#

∼ 2 n et finalement, u _n ∼ 1

2 √ 2 n 3/2 .

Q 3 La suite est d´efinie `a partir d’un certain rang ( n ≥ E ( x ) + 1). Ecrivons-la sous forme exponentielle : u _n = e ^a

o`u a _n = n ln

1 1 − ^x _n

= n ln

1 + ^{x n} 1 − ^x _n

Comme ^{n x}

1 − ^x _n → 0, on peut utiliser les ´equivalents classiques et alors a _n ∼ x et alors u _n → e ^x Q 4 Sous forme exponentielle :

u _n = e

ln n − 1 mais puisque ln n = o ( n ), ln n

n → 0 et en utilisant l’´equivalent usuel ( e v

− 1) ∼ v _n lorsque v _n → 0, on trouve que

u _n ∼ ln n n Q 5 Ecrivons en utilisant les propri´et´es du logarithme :

u _n = ln

n 2 + n + 5 n 2 − n + 3

= ln

1 + _n ¹ + _n ⁵

1 − _n ¹ + _n ³

= ln

1 + ^{2 n} + _n ²

1 − _n ¹ + _n ³

Remarquer que j’ordonne toujours les termes dans une somme par ordre d´ecroissant d’importance ! Comme

2 n + _n ²

1 − _n ¹ + _n ³

∼ 2

n → 0 on peut utiliser l’´equivalent usuel ln(1 + v _n ) ∼ v _n lorsque v _n → 0 et donc

u _n ∼ 2 n Q 6 Ecrivons d’abord

u _n = e ^θ

− 1 +

1 − cos 1

√

n

= a _n + b _n

MPSI 2 : Exercices 14 3 Suites

Comme ln n n → 0,

θ _n = sin r ln n

n ∼ r ln n

n → 0 et d’apr`es l’´equivalent classique de l’exponentielle, a _n ∼

r ln n

n . En utilisant l’´equivalent classique du cosinus, b _n ∼ 1

2 √ n . Mais puisque b _n a _n ∼ 1

2 √

ln n → 0, b _n = o ( a _n ) et donc u _n ∼ a _n ∼

r ln n n Q 7 Sous forme exponentielle :

u _n = e ^{n ln} ( tan (

+

)) = e ^a

Utilisons ensuite la formule de trigonom´etrie :

tan( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a tan b tan

π 3 + 1

n

=

√ 3 + tan ¹ _n 1 − √

3 tan ¹ _n ∼ √ 3

On n’a pas le droit de prendre l’exponentielle d’´equivalents ! Formons toutefois le quotient :

θ _n = u _n e n ln √

3 = e

n ln 0 B @

1 + ^{√ 1} ₃ tan _n ¹ 1 − √

3 tan ¹ _n

1 C A

= e a

avec

a _n = n ln 1 + √ 1

3 + √ 3

tan 1 n

∼ √ 1

3 + √ 3

donc θ _n → e

+ √

3 et donc

u _n ∼ e ^{n ln √ 3+( √ 3+}

) = e ⁽

) ( √ 3) ⁿ Q 8

a. Soit n ∈ N, on calcule

u _n+1 − u _n = u ²

n ≥ 0

La suite ( u _n ) est donc croissante. D’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, elle converge ou bien diverge vers +∞. Montrons par l’absurde qu’elle ne converge pas. Si ( u _n ) convergeait vers l ∈ R, on devrait avoir l = l 2 + l , c’est `a dire l = 0. Mais comme ( u <sub>n</sub> ) est croissante, ∀ n ∈ N, a = u <sub>0</sub> ≤ u <sub>n</sub> et par passage `a la limite dans les in´egalit´es, 0 < a ≤ l , une absurdit´e.

b. Soit n ∈ N. On calcule

v _n+1 − v _n = 1

2 ⁿ⁺¹ ln( u _n+1 − 1 2 ⁿ ln u _n

= 1

2 ⁿ⁺¹

ln u _n + ln(1 + u _n )

− 1 2 ⁿ ln u _n

= 1

2 ⁿ⁺¹

ln(1 + u _n ) − ln u _n

= 1

2 ⁿ⁺¹ ln 1 + 1 u _n

≥ 0

Par cons´equent, la suite ( v _n ) est croissante.

c. Soit n ∈ N. En reprenant l’expression de v _n+1 − v _n , puisque ( u _n ) est croissante, u _n ≥ a et donc v _n+1 − v _n ≤ 1

2 ⁿ⁺¹ ln(1 + 1 /a )

MPSI 2 : Exercices 14 4 Suites

On majore alors

v _n ≤ v _n−1 + 1

2 ⁿ ln(1 + 1 /a )

≤ v _n−2 + ln(1 + 1 /a ) 1 2 ⁿ + 1

2 ⁿ⁻¹

.. .

≤ v ₀ + ln(1 + 1 /a ) 1

2 ⁿ + · · · + 1 2

≤ v ₀ + ln(1 + 1 /a )

(on a calcul´e et major´e la somme g´eom´etrique). La suite ( v _n ) ´etant croissante et major´ee, elle converge vers α ∈ R.

d. Soient ( n,p ) ∈ N ² ,

v _n+k+1 − v _n+k = 1

2 ^n+k+1 ln 1 + 1 u _n+k

= 1

2 ^n+k+1 ln 1 + 1 u _n

puisque u _n ≤ u _n+k+1 . En additionnant ces in´egalit´es pour 0 ≤ k ≤ p , on trouve que v _n+p+1 − v _n ≤ ln 1 + 1

u _n h 1

2 ⁿ⁺¹ + 1

2 ⁿ⁺² + · · · + 1 2 ^n+p+1

i

≤ 1

2 ⁿ + 1 ln 1 + 1 u _n

1 + (1 / 2) + · · · + (1 / 2) ^p ]

≤ 1

2 ⁿ⁺¹ ln 1 + 1 u _n

1 − (1 / 2) ^p+1 1 − (1 / 2)

≤ 1

2 ⁿ ln 1 + 1 u _n

e. En passant aux in´egalit´es lorsque p → +∞ (`a n fix´e), on trouve que 0 ≤ α − v _n ≤ 1

2 ⁿ ln 1 + 1 u _n

En prenant l’exponentielle, on en tire que

u _n ≤ e ²

^α ≤ u _n 1 + 1 u _n

d’o`u l’encadrement :

1 1 + _u ¹

n

≤ u _n e 2

α ≤ 1 D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, puisque u _n −−−−−→

n→+∞ +∞, on en tire que u _n

e 2

α −−−−−→

n→+∞ 1, c’est `a dire que u _n ∼

n→+∞ e 2

α .