• Aucun résultat trouvé

 – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager " – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite."

Copied!
8
0
0

Texte intégral

(1)

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2012-2013

TD

()

 – Lois des grands nombres, th´eor`eme central limite.

Corrig´e

1 – Lois des grands nombres

E

xercice 1. (Calculer en cent lec¸ons) D´eterminer les limites suivantes :

. lim

n→∞

Z

[,]nf

x+. . .+xn n

dx. . . dxnpourf une fonion continue sur [,],

. lim

n→∞

n

X

k=

n k

!

pk(−p)nkf k n

!

pourf une fonion continue sur [,] etp∈[,],

. lim

n→∞

X

k=

eλn(λn)k k! f k

n

!

pourf une fonion continue et born´ee surR+etλ >.

Corrig´e :

. On a Z

[,]n

f

x+. . .+xn n

dx. . . dxn=E

f

U+. . .+Un n

o `uU, . . . , Unsont des variables al´eatoires ind´ependantes et uniformes sur [,]. D’apr`es la loi forte des grands nombres,n(U+. . .+Un) converge p.s. et donc en loi vers/. Ainsi,

nlim→∞

Z

[,]n

dx, . . . dxnf

x+. . .+xn n

=f

.

. On a

n

X

k=

n k

!

pk(−p)nkf k n

!

=E

f

B+. . .+Bn n

,

o `u B, . . . , Bn sont des variables al´eatoires de Bernoulli de param`etrep ind´ependantes. D’apr`es la loi forte des grands nombres,n(B+. . .+Bn) converge p.s. et donc en loi versp. Ainsi,

nlim→∞

Xn k=

n k

!

pk(−p)nkf k n

!

=f(p).

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V.

(2)

. On a

X

k=

eλn(λn)k k! f k

n

!

=E

f

P+. . .+Pn n

,

o `uP, . . . , Pn sont des variables al´eatoires de Poisson de param`etreλind´ependantes. D’apr`es la loi forte des grands nombres,n(P+. . .+Pn) converge p.s. et donc en loi versλ. Ainsi,

nlim→∞

X

k=

eλn(λn)k k! f k

n

!

=f(λ).

Remarque :on a utilis´e les r´esultats suivants que vous pourrez v´erifier `a titre d’exercice :

. La somme denvariables al´eatoires de Bernoulli de param`etrep∈[,]ind´ependantessuit une loi binomiale de param`etresnetp.

. La moyenne d’une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson de param`etreλ >eλ.

. Soientn≥,λ, . . . , λn>etX, . . . , Xnnvariables al´eatoiresind´ependantes, chaqueXi suivant une loi de Poisson de param`etreλi. AlorsX+. . .+Xnsuit une loi de Poisson de param`etreλ+. . .+λn.

E

xercice 2. (Une loi faible avec fonions cara´eriiques) SoitX, .., Xn, ...une suite de v.a.i.i.d d´efinies sur un espace probabilis´e. On suppose queE[|X|]<∞. Montrer alors (sans utiliser la loi forte des grands nombres) `a l’aide des fonions cara´eriiques que

X+...+Xn n

−→(P) E[X].

Corrig´e :

L’ind´ependance des (Xi) implique que pourξ∈R: ϕX+...Xn

n (ξ) =

ϕX ξ

n n

.

CommeXa un moment d’ordrefini,ξ7→ϕ(ξ) ed´erivable ende d´eriv´eeiE[X]. D’o `u

ϕX ξ

n n

= (+E[X]

n +o

n

!n

7−→E[X].

Ainsi, les fonions cara´eriiques de X+...+Xn n convergent simplement vers la fonion cara´eriique de la mesure de Dirac enE[X], on en d´eduit que

X+...+Xn n

−→(d)

n→∞ E[X].

Or la convergence en loi vers une conante implique une convergence en probabilit´e vers cette conante,

ce qui conclut.

E

xercice 3. (Th´eor`eme de Bernein-Weierrass) Soit f une fonion continue de [,] dansC. Len- i`eme polynˆome de Bernein def,Bn, ed´efini par

Bn(x) = Xn

k=

n k

!

xk(−x)nkf k n

!

, x∈R.

(3)

. Soit Sn(x) la variable al´eatoire ´etant d´efinie par Sn(x) = Bin(n, x)/n, o `u Bin(n, x) e une variable al´eatoire. de loi binomiale de param`etrenetx. Montrer queBn(x) =E[f(Sn(x))].

. En d´eduire le Th´eor`eme de Berein-Weierrass kBnfk −→

n→∞ .

Corrig´e :

. C’e´evident.

. Soitε >, soitη >le module d’uniforme continuit´e def associ´e `aε.Alors on a

|f(x)−Bn(x)| = E[|f(x)−f(Sn(x))|]

≤ E[|f(x)−f(Sn(x))||Sn(x)x|≤η] +E[|f(x)−f(Sn(x))||Sn(x)x|≥η]

ε+kfkP[|Sn(x)−x| ≥η]

Pour ´evaluerP[|Sn(x)−x| ≥η], on utilise l’in´egalit´e de Markov : P[|Sn(x)−x| ≥η]≤Var[|Sn(x)|]

η =x(x) ≤ 

nη.

La majoration ci-dessus euniforme enx, ce qui permet de conclure.

E

xercice 4. (Loi faible, non forte) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi

PX

n= 

ln(n+)n(δn+δn) + −  nln(n+)

! δ.

. Montrer queYn:=X+...+Xn n converge en probabilit´e vers.

. Montrer que presque s ˆurement,Ynne converge pas.

Corrig´e :

. On montre (en calculant) que

E[(Yn)]−→.

L’in´egalit´e de Markov permet alors de conclure.

. `A l’aide de Borel-Cantelli, on montre que P X

n

n ≥, pour une infinit´e den

=, et l’on conclue

comme dans l’exercice.) du TD.

2 – Th´eor`eme central limite

E

xercice 5. (Un dernier calcul et on s’en va) D´eterminer la limite suivante :

nlim→∞en

n

X

k=

nk k!.

Corrig´e : On a

en Xn k=

nk

k! =P(P+. . .+Pnn),

(4)

o `uP, . . . , Pnsont des variables al´eatoires de Poisson de param`etreind´ependantes. Et P(P+. . .+Pnn) =P P+. . .+Pnn

n ≤

! .

- La variance d’une variable al´eatoire de loi de Poisson de param`etre λ ´etant ´egale `a λ, on a d’apr`es le tcl,

P+. . .+Pnn

n

(loi)

−→

n→∞N ,

o `uN eune variable gaussienne (centr´ee r´eduite). Or la fonion de r´epartition deN econtinue donc

nlim→∞en Xn k=

nk

k! =P(N ≤) =

.

E

xercice 6. (Convergence en loi mais pas en proba) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi telle queE(X) =etE(X) =. On poseSn=X+. . .+Xnpour toutn≥.

. Montrer que pour toutA >, on a

P lim sup

n→∞

Sn

n

A

!

=, et en d´eduire que

P lim sup

n→∞

Sn

n = +∞

!

=.

. Juifier que si (Snk)keune suite extraite de (Sn)n, alors on a : P lim sup

k→∞

Snk

nk = +∞

!

=.

. En d´eduire que la suite (n/Sn)nne converge pas en probabilit´e.

Corrig´e :

. D’apr`es letcl, la suite (n/Sn)nconverge en loi vers une variable al´eatoireN de loi gaussienne centr´ee r´eduite. SoitA >. On a

P lim sup

n→∞

Sn

n

A

!

≥P lim sup (Sn

n > A

)!

≥lim sup

n→∞

P Sn

n > A

! .

La variableN ´etant `a densit´e, on a

nlim→∞

P Sn

n> A

!

=P(N > A)>, ce qui implique queP

lim supn→∞

Sn

nA

>. Or (

lim sup

n→∞

Sn

nA

)

∈ A,

o `uAela tribu asymptotiqueT

nσ(Xn, Xn+, . . .). Ainsi P lim sup Sn

n

A

!

=.

En consid´erant une suite (Ak)k↑+∞, on en d´eduit le r´esultat.

(5)

. On d´emontre ce r´esultat de la mˆeme mani`ere que le r´esultat pr´ec´edent.

. Si la suite (n/Sn)nconverge en probabilit´e vers une variable al´eatoireX, alors on peut extraire une sous-suite (nk/Snk)ktelle quenk/SnkXp.s. OrXa la mˆeme loi queN, ce qui contredit le fait que

P lim sup

k→∞

Snk

nk = +∞

!

=.

3 – Vecteurs gaussiens

E

xercice 7. (Personne n’ejamais assez fort pour ce calcul) Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires

`a valeurs dansRind´ependantes et indentiquement diribu´ees. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite

X+. . .+XnnE(X)

n

!

n

dans les cas suivants :

. Xede loi δ(,)+δ(,),

. Xede loi δ(,)+δ(,)+δ(,). Corrig´e :

. Dans ce cas,Xecentr´e et la matrice de covariance deXeCX=  

 

!

.Donc, d’apr`es letcl veoriel, la suite ((X+. . .+Xn)/√

n)nconverge en loi vers un veeur al´eatoireN de loiN(, CX).

Le veeurN eun veeur gaussien d´eg´en´er´e, il a la mˆeme loi que le veeur (ν, ν) o `u la variable al´eatoire r´eelleνede loiN(,).

. Dans ce cas, on aE(X) = (,/) et la matrice de covariance deXeCX =  /

/ /

!

.Donc, d’apr`es le tcl veoriel, la suite ((X+. . .+XnnE(X))/√

n)n converge en loi vers un veeur al´eatoireN de loiN(, CX). Le veeurN eun veeur gaussien non-d´eg´en´er´e dont la densit´e e

f(y, y) =  π

√exp

− 

y+yy+y

.

E

xercice 8. (Suite r´ecurrente al´eatoire) Soient (Uk)kune suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de loi normaleN(, σ) etθ∈R. On d´efinit la suite (Xk)kparX=UetXk=θUk+Uk. Montrer que pour tout n≥, le veeur (X, . . . , Xn) eun veeur gaussien non d´eg´en´er´e dont on pr´ecisera la densit´e, l’esp´erance et la matrice de covariance.

Corrig´e :

SoitAla matrice carr´e d’ordrend´efinie par

A=



















    . . . θ    . . .

θ   . . . ... . .. ... ...

. . .θ



















(6)

Alors on voit queX=AU en notantX= (X, . . . , Xn) etU = (U, . . . , Un). DoncXeun veeur gaussien.

De plus det(A) =doncXenon d´eg´en´er´e. On aE(X) =et la matrice de covariance deXedonn´ee par

CX=A(σIn)tA=σAtA=σ



















θ

θ +θ θ . .. . .. . ..

θ +θ θ θ +θ

















 .

Enfin la densit´e deXe fX(x) =√

(π)ndet(CX)etxCXx=

(πσ)n/etxCXx, x∈Rn.

 – Compl´ements (hors TD)

E

xercice 9. (Formule de Stirling)

Queion pr ´eliminaire :SoitXune variable al´eatoire r´eelle de carr´e int´egrable d´efinie sur (Ω,A,P). Mon- trer que, pour touta >, on a :E(|X−inf(X, a)|)≤(E(X)P(X≥a))/.

Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P), de mˆeme loi de Poisson de param`etre. On pose, pour tout entiern≥,

Sn= Xn

i=

Xi et Yn=Snn

n . On notex= sup(−x,) pour toutx∈R.

. Pour toutn≥, v´erifier queSn suit la loi de Poisson de param`etren, calculerE(Yn) et en d´eduire que pour touta >,

P(Yna)≤  a.

. SoitY une variable al´eatoire de loi normaleN(,). Montrer que la suite (Yn)nconverge en loi versY.

. Montrer `a l’aide de la queion pr´eliminaire que E(Yn) −→

n→∞

E(Y).

. En d´eduire la formule de Stirling

n!

n→∞

n e

n

πn.

Corrig´e :

. On a, d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, E(|X−inf(X, a)|) =E

(X−a)1{X>a}

≤E

X1{X>a}

≤(E(X)P(X > a))/. () (a) On a

E(Yn) = n

Xn i=

Var(Xn) =.

On en d´eduit que

P(Yna)≤ 

aE((Yn))≤ 

aE(Yn) =  a.

(7)

() (b) D’apr`es letcl, la suite (Yn)nconverge en loi versY. Or la fonionx∈R7→xecontinue donc la suite (Yn)nconverge en loi versY.

() (c) Soita >. La fonionx∈R+7→inf(x, a) econtinue et born´ee donc E(inf(Yn, a)) −→

n→∞E(inf(Y, a)).

Et

|E(Yn)−E(Y)|

≤ E(|Yn−inf(Yn, a)|) +|E(inf(Yn, a)−inf(Y, a))|+E(|inf(Y, a)Y|)

≤ |E(inf(Yn, a)−inf(Y, a))|+ (P(Yna))/+ (P(Ya))/, d’apr`es la queion pr´eliminaire. OrP(Yna)aet

P(Ya)≤ E((Y))

a ≤E(Y) a = 

a. Ainsi,

lim sup

n→∞

|E(Yn)−E(Y)| ≤ a. Ceci ´etant vrai pour touta >, on a

lim sup

n→∞

|E(Yn)−E(Y)|=.

() (d) La variable al´eatoireSnsuit une loi de Poisson de param`etrendonc

E(Yn) = 

n

n

X

k=

(n−k)ennk k! =en

n







n

X

k=

nk+

k!

n

X

k=

nk+

k!







= nn+

enn!n =

n e

nn n!.

Et

E(Y) = 

√π Z

xex/dx= 

√π. Donc,

n e

nn n! −→

n→∞

√

π, et donc

n!

n→∞

n e

n

πn.

E

xercice 10. (Une LGN avec un go ˆut de TCL) On rappelle que la loi de Cauchy `a pour densit´e par rapport `a la mesure de Lebesguef(x) =π(+x ), et pour fonion cara´eriique

φ(ξ) = exp(−|ξ|).

. SiXetY sont deux variables de Cauchy ind´ependantes.Quelles ela loi de X+Y ?

. SiX, ..., Xnsont des vaiid de loi de Cauchy.Quelle ela loi de X+...+Xn

n ?

Qu’en pensez-vous ?

(8)

. Retrouver la forme de la fonion cara´eriique `a partir de la densit´e de la loi de Cauchy.

Corrig´e :

. On calcule :

φ(X+Y)/(t) =E

exp X+Y

 ·it

=E heiXti

E heiYti

= exp(−|t|/) exp(−|t|/) = exp(−|t|).

On en d´eduit que (X+Y)/suit une loi de Cauchy.

. Le mˆeme raisonnement montre que (X+· · ·+Xn)/nsuit une loi de Cauchy. On peut faire deux remarques :

(i) Znne converge pas p.s. lorsquen→ ∞. Ceci ne contredit pas la loi forte des grands nombres carteXn’a pas de moment d’ordre.

(ii) Le th´eor`eme central limite ne s’applique pas car il n’y a pas de moment d’ordre(et donc pas de moment d’ordre).

. On utilise la formule d’inversion de Fourier (voir les petites queions du TDpour deux queions similaires).

E

xercice 11. (´Equation al´eatoire – ) SoientXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi, de variance finieσ. On suppose que (X+Y)/√

ede mˆeme loi queXetY.Que dire de cette loi commune ?

Corrig´e : Tout d’abord, comme (X+Y)/√

etXont mˆeme loi, on a (E[X]+E[Y])/√

=√

E[X] =E[X].

D’o `uE[X] =.

Ensuite, si (Xi),(Xi0),(Yi),(Yi0) sont des variables al´eatoires ind´ependants de mˆeme loi queX, on d´emontre ais´ement par r´ecurrence surnque

Zn= Pn

i=(Xi+Xi0+Yi+Yi0)

n+

a la mˆeme loi queX. Or d’apr`es le th´eor`eme central limite,Znconverge en loi versN(, σ) (en effet, le num´erateur deZneune somme den+variables al´eatoires r´eelles centr´ees ind´ependantes de mˆeme loi et de varianceσ). On conclut donc queXa la mˆeme loi queN(, σ).

Fin Bonne ann´ee !

Références

Documents relatifs

La preuve du Théorème 3.1 est présentée sous forme

Solution. On montre que S n suit alors une loi de Poisson de paramètre nλ.. On considère une population comportant un grand nombre n de foyers. On modélise la taille de ces foyers

Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce

Montrer que cette suite converge en loi vers une variable r´ eelle Y si et seulement si les deux suites (m n ) n≥0 et (σ n ) n≥0 convergent dans R , et identifier la loi

Loi des grands

On appelle succès l’événement &#34;Le point choisi est sous la courbe re- présentative de la fonction f&#34; et échec &#34;Le point choisi est au dessus de la courbe représentative

GAPOCHKINE, Critères de validité de la loi forte des grands nombres pour des classes de processus stationnaires au sens large et pour des champs aléatoires

Nous utilisons la propriété que, pour les fonctions fortement mesurables, l’intégrale faible et l’intégrale forte existent en même temps et sont égales (Çf.