Loi faible des grands nombres / Théorème de Weierstrass
Lesigne, Pile ou face, page 13
Loi Faible des Grands Nombres: Soit Sn une variable aléatoire réelle suivant une loi binomialeB(n, p). Alors
∀ε >0, lim
n∞P µ¯¯
¯¯Sn
n −p
¯¯
¯¯> ε
¶
= 0 et cette convergence est uniforme enp.
Soitε >0. On sait queE(Sn) =np et V(Sn) =np(1−p). On utilise alors l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev qui donne alors :
P(|Sn−np|> nε)≤ V(Sn)
(nε)2 = p(1−p) nε2 ≤ 1
4nε2 ce qui prouve le théorème
Théorème de Weierstrass : Soitf : [0,1]→Rcontinue. On dénit le polynôme de Bernstein associé àf d'ordren:
∀n∈N,∀x∈[0,1], Bn(f) = Xn
k=0
µ n k
¶ f
µk n
¶
xk(1−x)n−k Alors, on a
n→∞lim kf−Bn(f)k= 0
En particulier, toute fonction continue sur [0,1] est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Soitε >0. La fonction f étant continue sur[0,1]compact, elle est donc uniformément continue sur [0,1]. Il existe doncη >0 tel que
∀x, y∈[0,1], |x−y|< η⇒ |f(x)−f(y)|< ε
Considérons également la variable aléatoiref(Snn)oùSn ÃB(n, p). D'après le principe de transfert, on obtient :
E
· f
µSn
n
¶¸
= Xn k=0
f µk
n
¶
P(Sn =k) = Xn k=0
µ n k
¶ f
µk n
¶
pk(1−p)n−k=Bn(f)(p)
On peut appliquer la loi faible des grands nombres qui nous dit qu'il existe un entiern0, indépendant du paramètrep, tel que, pour toutn≥n0, on ait
P µ¯¯
¯¯Sn
n −p
¯¯
¯¯> η
¶
< ε
On a
|Bn(f)(p)−f(p)| =
¯¯
¯¯
¯ Xn k=0
µ f
µk n
¶
−f(p)
¶
P(Sn =k)
¯¯
¯¯
¯
≤ X
|kn−p|≤η
¯¯
¯¯f µk
n
¶
−f(p)
¯¯
¯¯P(Sn=k) + X
|nk−p|>η
µ¯¯
¯¯f µk
n
¶¯¯
¯¯+|f(p)|
¶
P(Sn =k)
≤ X
|kn−p|≤η
εP(Sn=k) + X
|kn−p|>η
2kfk∞P(Sn=k)
= εP µ¯¯
¯¯Sn
n −p
¯¯
¯¯≤η
¶
+ 2kfk∞P µ¯¯
¯¯Sn
n −p
¯¯
¯¯> η
¶
Pour toutn≥n0, on a donc
|Bn(f)(p)−f(p)| ≤ε+ 2εkfk∞
ce qui prouve donc le résultat.
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