1 Les grands nombres font la loi 1.1 Beber

Magist` ere d’´ economiste statisticien 2006–2007-Seconde ann´ ee

Feuille d’exercice 2

Juqu’` a la limite

1 Les grands nombres font la loi

1.1 Beber

Soit (X n ) _n≥1 une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de mˆ eme loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1.

Pour tout n ≥ 1, on pose

S n =

n

X

k=1

X k et X n = S n

n .

Montrer que X n est un estimateur sans biais de p et X n → p p.s. Afin d’estimer la variance σ ² = p(1 − p), on propose d’utiliser U n = X n (1 − X n ). Montrer que U n est un estimateur biais´ e de σ ² et trouver un estimateur V n sans biais de σ ² tel que V n → σ ² p.s. Cr´ eer un code Matlab illustrant ces deux LGN sur un n-´ echantillon de loi de Bernoulli B(p), o` u les param` etres n et p sont affect´ es par l’utilisateur.

1.2 Ampoule

La dur´ ee de vie d’une ampoule ´ electrique peut ˆ etre mod´ elis´ ee par une variable al´ eatoire X prenant au hasard ses valeurs dans l’intervalle [0, θ] avec θ > 0. Afin d’optimiser l’agenda d’un r´ eparateur, on cherche ` a estimer θ

`

a partir d’un n-´ echantillon (X 1 , X 2 , · · · , X n ) de mˆ eme loi que X . On propose d’estimer θ par b θ n = max

1≤k≤n X k ou θ e n = 2X n .

Calculer la fonction de r´ epartition puis la densit´ e de probabilit´ e de θ b _n et en d´ eduire que θ b _n → θ p.s. Montrer

´

egalement que θ e _n → θ p.s. Cr´ eer un code Matlab illustrant ces deux LGN sur un n-´ echantillon de loi uniforme U ([0, θ]), o` u les param` etres n et θ sont affect´ es par l’utilisateur.

1.3 Par´ eto

La loi de Par´ eto, encore appel´ ee loi de puissance, est utilis´ ee pour mod´ eliser les d´ epassements d’un seuil. On dit que X suit une loi de Par´ eto de param` etres a, θ > 0 si X = θ exp(Y ) avec Y de loi exponentielle E(a). On propose d’estimer θ, ` a partir d’un n-´ echantillon (X 1 , X 2 , · · · , X n ) de mˆ eme loi que X , par

θ b _n = min

1≤k≤n X _k .

Calculer la fonction de r´ epartition puis la densit´ e de probabilit´ e de X. En d´ eduire la loi de probabilit´ e associ´ ee ` a θ b <sub>n</sub> et montrer que θ b <sub>n</sub> → θ p.s. Cr´ eer un code Matlab illustrant cette LGN sur un n-´ echantillon de loi de Par´ eto P (a, θ), o` u les param` etres n, a et θ sont affect´ es par l’utilisateur.

1.4 Convergence

Soit (X n ) _n≥0 une suite de variables al´ eatoires i.i.d. de loi la loi de X . Montrer que : a) Si E(|X|) < ∞, alors (X n /n) converge p.s. vers 0. (indication : X est int´ egrable ssi P

n>0 P (|X| ≥ an) <

∞).

b) Si E(|X |) = ∞, alors, pour tout A positif, P(lim sup{|X n | ≥ An}) = 1.

c) Soit S _n = P n

i=1 X _i . D´ eduire de (b) que si E(|X |) = ∞, alors lim sup _n |S n /n| = +∞ p.s.

1.5 Gauss

Soit (X k ) k>0 une suite de v.a. ind´ ependantes de loi gaussienne standard N (0, 1). On pose S n = P n i=1 X i . a) Montrer que √

2πP (X ₀ > a) ∼ ¹ _a exp(−a ² /2) quand a → +∞.

b) Montrer que S _n / √

n suit une loi N (0, 1) (calculer la fonction caract´ eristique de S _n ). En d´ eduire que si (a _n ) est une suite de r´ eels positifs telle que a _n / √

n tende vers +∞. alors S _n /a _n converge vers 0 en probabilit´ e. Peut-on conclure pour la convergence p.s. ? Montrer cependant que si a _n = √

n log n, alors S _n /a _n converge p.s. vers 0.

c) Montrer que lim sup _n (2 log n) ^−1/2 X n = 1 p.s. et lim sup _n (2 log n) ^−1/2 |X n | = 1 p.s.

1.6 Moment d’ordre 4

Soit (X _n ) _n≥0 une suite de variables al´ eatoires i.i.d. et centr´ ees ( E(X _i ) = 0). On suppose que E(X _i ⁴ ) <

+∞.On pose S _n = P n

i=1 X _i . Montrer que

P(|S n | > nε) ≤ 1

(nε) ⁴ E(S _n ⁴ ).

Calculer E(S _n ⁴ ) et en d´ eduire que S n /n converge p.s. vers 0.

1.7 Borel et ses fr` eres

Montrer que si les v.a X n sont ind´ ependantes alors X n converge p.s. vers 0 si et seulement si, pour tout > 0, P

n P (|X n | > ) < ∞

2 Th´ eor` eme Limite Centrale.

2.1 Pour les dimanche plus vieux

Utiliser le code Matlab suivant qui permet d’illustrer le TLC sur un n-´ echantillon de loi Uniforme U ([0, 1]).

n = input(’Entrez la taille de l’´ echantillon n (par exemple 10) : ’) ; N = input(’Entrez le nombre de r´ ealisations N (par exemple 2000) : ’) ; d = input(’Pr´ eciser la discr´ etisation d (par exemple 100) : ’) ;

X = rand(n, N); Z = (sum(X ) − n/2)/sqrt(n/12);

dz = range(Z)/d ; [Effectifs, Classes]=hist(Z, d);

Abscisses = [min(Z ) − dz/2 : dz : max(Z) + dz/2];

DS =[0 Effectifs 0]/(N ∗ dz) ; bar(Abscisses, DS, ⁰ b ⁰ ); hold on DN = dnorm(Abscisses) ; plot(Abscisses, DN, ⁰ r− ⁰ );

legend(’Densite simul´ ee’,’Loi Normale’) ; hold off

2.2 Hans

Soit (ε _n ) _n≥1 une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de mˆ eme loi de Rademacher R(1/2). Soit (X _n ) _n≥1 la suite d´ efinie par X _n = n ^a ε _n avec a > 0. On pose S _n = X ₁ + X ₂ + · · · + X _n . Calculer la transform´ ee de Laplace de S _n donn´ ee, pour tout t ∈ R , par L _n (t) = E [exp(tS _n )]. En d´ eduire que

S n

n ^a √

n −→ _L N 0, 1

2a + 1

.

Cr´ eer un code Matlab illustrant ce TLC sur un n-´ echantillon de loi de Rademacher R(1/2), o` u les param` etres n et a sont affect´ es par l’utilisateur.

2.3 Poisson

Pour tout x, λ > 0, on pose

L _n (x) = exp(−nλ)

[nx]

X

k=0

(nλ) ^k k! .

Montrer ` a l’aide de la loi des grands nombres et du th´ eor` eme de la limite centrale que

lim n→ L n (x) =



 

 

0 si x < λ, 1/2 si x = λ, 1 si x > λ.

V´ erifier cette convergence avec un code Matlab.

2.4 Pink

Soit X une v.a.r. telle que P(X = k) = p k , 1 ≤ k ≤ r, p 1 + . . . + p r = 1. Soit (X 1 , ..., X n ) un ´ echantillon de X . On pose V i = (1I X

=1 , ..., 1I X

=r ).

a) Montrer que S n = V 1 + . . . + V n est le vecteur al´ eatoire de R ^r dont la k-i` eme composante S n ^(k) est ´ egale au nombre d’entiers i de [1, n] tels que X i = k.

b) Montrer que n ^−1/2 (S n − E(S n )) converge en loi vers un vecteur gaussien dont on d´ eterminera la matrice

de covariance.

c) Montrer que Y n = n ^−1/2 (p ^−1/2 ₁ (S n ⁽¹⁾ −E(S n ⁽¹⁾ )), ..., (p ^−1/2 r (S n ^(r) −E(S n ^(r) )) converge vers un vecteur gaussien dont on d´ eterminera la matrice de covariance Γ.

d) Soit (Z ₁ , ..., Z _r ) une vecteur gaussien centr´ e de matrice de covariance Γ. Montrer que Z ₁ ² + . . . + Z _r ² suit une loi du χ ² ` a r − 1 degr´ es de libert´ es. En d´ eduire que le carr´ e de la norme euclidienne de Y _n converge en loi vers χ ² _r−1 .

2.5 Ze Wall

Soit X n un ´ echantillon d’une v.a.r. de loi N(0, 1). Soit Y n (h) = P n

i=1 sin(hX i ). Montrer que ^{√ 1} _n (Y n (1), ..., Y n (k))

converge en loi vers un vecteur gaussien centr´ e dont on donnera la matrice de covariance.