Loi Forte des Grands Nombres

(1)

ISFA - L3 Actuariat Probabilités Avancées

Semestre printemps 2018-2019

Éléments de correction de la feuille de TD n

^o

5:

Loi Forte des Grands Nombres

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Correction exercice 3 : 1. Vu en TD

2. Vu en TD

3. (a) D’après la question précédente : V

_n

−→

^p.s

n→∞

Var(X

₁

) = σ

²

.

D’après la loi forte des grands nombres, X ¯

_n

−→

^p.s

n→∞

E [X

₁

] = µ.

Donc on en déduit que : ( ¯ X

_n

, V

_n

) −→

^p.s

n→∞

(µ, σ

²

) . (b) De même,

V

_n

−→

^p.s

n→∞

Var(X

₁

) = (b − a)

²

12 , et

X ¯

_n

−→

^p.s

n→∞

E [X

₁

] = a + b 2 .

Donc, par continuité des fonctions (x, y) 7→ x ± p

3y, on en déduit que :

X ¯

_n

± p

3V

_n

−→

^p.s

n→∞

a + b

2 ±

r

3 (b − a)

²

12 = a + b

2 ± b − a 2 . puis ( ¯ X

_n

− p

3V

_n

, X ¯

_n

+ p

3V

_n

) −→(a, b)

^p.s

.

Correction exercice 4 :

On définit la somme pour les indices impairs

S

_nⁱ

:= 1 n

bⁿ⁺¹₂ c

X

i=1

X

2i−1

X

2i

et la somme pour les indices pairs

S

_n^p

:= 1 n

bⁿ

2c

X

i=1

X

_2i

X

_2i+1

.

On a la décomposition suivante :

S

n

= S

_nⁱ

+ S

_n^p

.

La suite X

₁

X

₂

, X

₃

X

₄

, ..., X

_2i+1

X

_2i

, ... est i.i.d et dans L

₁

car par l’in- égalité de Cauchy-Schwarz : E [|X

₁

X

₂

|] ≤ E [X

₁²

] E [X

₂²

] < +∞ car les X

_i

sont de carré intégrable. On en déduit d’après la LFGN que :

1

n+1 2

bⁿ⁺¹₂ c

X

i=1

X

2i−1

X

_2i

−→

^p.s

n→∞

E [X

₁

X

₂

] = E [X

₁

] E [X

₂

] = E [X

₁

]

²

, par indépendance de X

1

et X

2

. Par conséquent,

S

_nⁱ

=

n+1 2

n × 1

n+1 2

bⁿ⁺¹

2 c

X

i=1

X

2i−1

X

_2i

−→

^p.s

n→∞

1 2 E [X

₁

]

²

.

De même, la LFGN nous montre que : S

_n^p

−→

^p.s

n→∞

1 2 E [X

₁

]

²

, Puis, S

_n

−→

^p.s

n→∞

E [X

₁

]

²

.

1

(2)

Correction exercice 5 :

1. La suite (X

_i

)

i∈N

est bien i.i.d mais n’est pas dans L

₁

. En effet, E [|X

₁

|] = 1

π Z

+∞

−∞

|x|

1 + x

²

dx = 2 π

Z

+∞

0

x

1 + x

²

dx = +∞, car x

1 + x

²

∼

x→+∞

1 x et la fonction x 7→ 1

x n’est pas intégrable en +∞.

Par conséquent, les hypothèses de la LFGN ne sont pa satisfaites.

2. Notons φ

X¯n

la fonction caractéristique de X ¯

_n

. φ

X¯n

(ξ) = E h

e

^iξ^X^¯ⁿ

i

= E h

e

ⁱⁿ^ξ^Pⁿⁱ⁼¹^Xⁱ

i

= E

"

_n

Y

i=1

e

ⁱ^ξⁿ^Xⁱ

#

=

n

Y

i=1

E h e

ⁱ^ξⁿ^Xⁱ

i

par indépendance des X

_i

= E h

e

ⁱⁿ^ξ^Xⁱ

i

n

car les X

_i

ont même loi

= (φ

X1

(ξ/n))

ⁿ

= e

^−|ξ/n|

ⁿ

= e

^−|ξ|

= φ

_X₁

(ξ).

On en déduit que X ¯

_n

a même fonction caractéristique que X

₁

. Or, la fonction caractéristique caractérise la loi. On en déduit que X ¯

_n

a même loi que X

1

donc suit également un loi de Cauchy.

La loi de X ¯

_n

est donc la loi de Cauchy pour tout n ∈ N .

3. On en déduit donc que la suite ( ¯ X

_n

)

n∈N

ne peut converger ni en proba ni p.s vers 0 car sinon elle convergerait aussi en loi vers 0 ce qui n’est pas le cas.

2