une suite de v.a.i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[.

(1)

Somme et produits de variables consécutives de Bernoulli

Degrave, Probabilités-Statistiques ECS 2ème année, pages 141 à 148 Exercice :

Soit (X

n

)

n≥1

une suite de v.a.i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[.

1. On pose Y

n

= X

n

+ X

n+1

et S

n

= Y

1

+ . . . + Y

n

. Alors, la suite

µ S

n

¶

n≥1

converge en probabilité vers la v.a. constante égale à 2p . 2. On pose U

n

= X

n

X

n+1

et Z

n

= U

1

+ . . . + U

n

.

Alors, la suite µ Z

n

¶

n≥1

converge en probabilité vers la v.a. constante égale à p

²

.

1. Déterminons déjà la loi de Y

n

.

Les X

n

étant indépendantes, on sait donc que pour tout n ≥ 1, Y

n

suit la loi binomiale B(2, p). On a donc immédiatement :

E(Y

n

) = 2p et V(Y

n

) = 2p(1 − p) Calculons l'espérance et la variance de S

n

.

E(S

n

) = X

n k=1

E(Y

k

) = 2np

On a aussi S

n

= X

n

k=1

(X

k

+ X

k+1

) = X

1

+ 2 X

n

k=2

X

k

+ X

n+1

. Comme les X

k

sont indépendantes on en déduit que : V(S

n

) = V(X

1

) + 4

X

n k=2

V(X

k

) + V(X

n+1

) = p(1 − p) + 4(n −1)p(1 − p) + p(1 − p) = (4n − 2)p(1 − p)

D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a donc pour tout ε > 0 : P

µ¯ ¯

¯ ¯ S

n

n − E µ S

n

¶¯ ¯

¯ ¯ ≥ ε

¶

≤ 1 ε

²

V

µ S

n

¶

c'est-à-dire :

∀ε > 0, P µ¯ ¯

¯ ¯ S

n

n − 2p

¯ ¯

¯ ¯ ≥ ε

¶

≤ (4n − 2)p(1 − p) ε

²

n

²

V

µ S

n

¶

−→

n∞

0 Ainsi, la suite

µ S

n

¶

n≥1

converge en probabilité vers la variable constante égale à 2p .

2. Pour tout k ∈ N

^∗

, U

k

prend les valeurs 0 et 1 et :

P(U

k

= 1) = P ([X

k

= 1] ∩ [X

k+1

= 1]) = P ([X

k

= 1]) P ([X

k+1

= 1]) = p

²

(car X

k

et X

k+1

sont indépendantes).

On en déduit donc que P(U

k

= 0) = 1 − p

²

.

Donc U

k

suit la loi de Bernoulli de paramètre p

²

. On en déduit donc que E(U

k

) = p

²

et V(U

k

) = p

²

(1 − p

²

)

Discutons selon les valeurs de i et j l'indépendance de Y

i

et Y

j

.

• Si j > i + 1 (ou si i > j + 1), Y

i

est fonction de X

i

et X

i+1

et Y

j

est fonction de X

j

et X

j+1

. Les X

k

étant indépendantes, Y

i

et Y

j

sont donc indépendantes.

1

(2)

• Si j = i + 1 (ou i = j + 1), alors :

P ([Y

i

= 1] ∩ [Y

j

= 1]) = P([X

i

= 1] ∩ [X

i+1

= 1] ∩ [X

i+2

= 1]) = p

³

Or,

P(Y

i

= 1)P(Y

j

= 1) = p

⁴

Comme p ∈]0, 1[ , p

³

6= p

⁴

et les deux v.a. Y

_i

et Y

_j

ne sont pas indépendantes.

E µ Z

n

¶

= 1 n

X

n k=1

E(U

_k

) = p

²

et d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout ε > 0, P

µ¯ ¯

¯ ¯ Z

n

n − p

²

¯ ¯

¯ ¯ ≥ ε

¶

≤ V(Z

n

) n

²

ε

²

Le calcul de la variance de Z

n

donne : V(Z

n

) =

X

n i=1

V(U

i

) + 2 X

1≤i<j≤n

cov(U

i

, U

j

)

Si j > i + 1 , cov (U

i

, U

j

) = 0 car U

i

et U

j

sont indépendantes.

Si j = i + 1, cov(U

i

, U

j

) = E(U

i

U

j

) − E(U

i

)E(U

j

).

Or :

E(U

i

U

j

) = P(U

i

U

j

= 1) = P([U

i

= 1] ∩ [U

j

= 1]) = p

³

Donc cov(U

i

, U

j

) = p

³

− p

⁴

= p

³

(1 − p)

On en déduit que :

V(Z

n

) = np

²

(1 − p

²

) + 2(n − 1)p

³

(1 − p) = p

²

(1 − p) ¡

n(1 − p) + 2(n − 1)p ¢

= p

²

(1 − p)(n + 3np − 2p) On en déduit donc que lim

n∞

V(Z

n

) n

²

ε

²

= 0 La variable

µ Z

n

¶

n≥1

converge donc en probabilité vers la variable constante égale à p

²

.

2