Exercice I: en Python, suite rsa

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Universit´ e de Paris 7 tp03 M1MME 2011-2012 (F.Han

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Exercice I: en Python, suite rsa

1) Utilisez les fonctions python d´ efinies la semaine derni` ere pour transmettre un message crypt´ e ` a votre voisin en pr´ esence de tout le monde, sans accord secret pr´ ealable. Votre voisin devra d´ ecoder le message.

2) a) Utilisez les fonctions pr´ ec´ edentes pour certifier un message publique : On transmet cette fois un message en clair plus un certificat. Grˆ ace ` a ce certificat, votre voisin doit pouvoir ˆ etre certain que ce message est authentique et non modifi´ e.

b) Dans le cas d’un message long, on utilise en plus une fonction de hachage qui associe ` a votre texte un nombre. (il en existe une en python). Quelles sont les propri´ et´ es attendues d’une bonne fonction de hachage ? Est ce une fonction secrete ?

Exercice II: Fermat, Rabin-Miller, xcas

Le test primalit´ e de Rabin-Miller pour un entier n : S’il existe a et i ≥ 1 tels que 2

ⁱ

divise n − 1 et que l’on ait a

²ⁿ⁻¹ⁱ⁻¹

= 1[n] avec a

ⁿ⁻¹²ⁱ

6= ±1[n], alors n n’est pas premier. On va donc en d´ eduire un test de primalit´ e.

1) Ce test est d´ eja impl´ ement´ e dans xcas. Etudiez dans la documentation de xcas la notion de pseudo premier et de premier. Quelles sont les deux fonctions correspondantes ? Comparez les temps avec ces deux fonctions pour p:=nextprime(17^200)

2) Quelle fonction utiliser pour une puissance rapide modulaire ? Etudiez par cette m´ ethode la valeur de retour de (−1)

¹⁰¹

[7] et de (−1)

¹⁰¹

[p] o` u p est grand.

3) a) Cr´ eez une fonction fermat23(n) qui retourne la liste des entiers inf´ erieurs ` a n qui passent le test de fermat pour les t´ emoins 2 et 3.

b) Trouvez dans la documentation xcas le moyen de retirer un ´ el´ ement ` a une liste. Donnez la liste des entiers non premiers inf´ erieurs ` a 5000 qui passent le test de fermat pour les t´ emoins 2 et 3.

4) Cr´ eez d’abord une fonction ramil1(n) qui effectue ce test mais en utilisant pour l’instant qu’un seul t´ emoin a. (On prendra par exemple a = 2). On ´ evitera de devoir factoriser n − 1.

5) Pour une valeur de n de votre choix (non premi` ere, par exemple un produit de 3 grand nombres premiers), donner toutes les valeurs de a pour lesquelles on n’a pas de r´ eponse sure. Comparer ce nombre avec φ(n)/4.

Exercice I: en Python, suite rsa

Universit´ e de Paris 7 tp03 M1MME 2011-2012 (F.Han

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Exercice I: en Python, suite rsa

1) Utilisez les fonctions python d´ efinies la semaine derni` ere pour transmettre un message crypt´ e ` a votre voisin en pr´ esence de tout le monde, sans accord secret pr´ ealable. Votre voisin devra d´ ecoder le message.

2) a) Utilisez les fonctions pr´ ec´ edentes pour certifier un message publique : On transmet cette fois un message en clair plus un certificat. Grˆ ace ` a ce certificat, votre voisin doit pouvoir ˆ etre certain que ce message est authentique et non modifi´ e.

b) Dans le cas d’un message long, on utilise en plus une fonction de hachage qui associe ` a votre texte un nombre. (il en existe une en python). Quelles sont les propri´ et´ es attendues d’une bonne fonction de hachage ? Est ce une fonction secrete ?

Exercice II: Fermat, Rabin-Miller, xcas

Le test primalit´ e de Rabin-Miller pour un entier n : S’il existe a et i ≥ 1 tels que 2

divise n − 1 et que l’on ait a

= 1[n] avec a

6= ±1[n], alors n n’est pas premier. On va donc en d´ eduire un test de primalit´ e.

1) Ce test est d´ eja impl´ ement´ e dans xcas. Etudiez dans la documentation de xcas la notion de pseudo premier et de premier. Quelles sont les deux fonctions correspondantes ? Comparez les temps avec ces deux fonctions pour p:=nextprime(17^200)

2) Quelle fonction utiliser pour une puissance rapide modulaire ? Etudiez par cette m´ ethode la valeur de retour de (−1)

[7] et de (−1)

[p] o` u p est grand.

3) a) Cr´ eez une fonction fermat23(n) qui retourne la liste des entiers inf´ erieurs ` a n qui passent le test de fermat pour les t´ emoins 2 et 3.

b) Trouvez dans la documentation xcas le moyen de retirer un ´ el´ ement ` a une liste. Donnez la liste des entiers non premiers inf´ erieurs ` a 5000 qui passent le test de fermat pour les t´ emoins 2 et 3.

4) Cr´ eez d’abord une fonction ramil1(n) qui effectue ce test mais en utilisant pour l’instant qu’un seul t´ emoin a. (On prendra par exemple a = 2). On ´ evitera de devoir factoriser n − 1.

5) Pour une valeur de n de votre choix (non premi` ere, par exemple un produit de 3 grand nombres premiers), donner toutes les valeurs de a pour lesquelles on n’a pas de r´ eponse sure. Comparer ce nombre avec φ(n)/4.

6) Si la probalilit´ e d’avoir un mauvais t´ emoin est major´ ee par 1/4, combien de temoins faut il utiliser pour avoir une r´ eponse sure a 99.9%

7) Programmez un test de rabin-miller avec cette fiabilit´ e.

1. http ://www.math.jussieu.fr/∼han/M1MME

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