Universit´e Mohammed V-Rabat Ann´ee universitaire: 2016-17
Facult´e des Sciences SMA-S5- Topologie
D´epartement de Math´ematiques
S´erie 1 Exercice 1.
Dans IRn, six= (x1, ..., xn) ety = (y1, ..., yn) sont deux ´el´ements, on con- sid`ere les trois normes d´efinies par:
kxk1= v u u t
n
X
i=1
xi2, kxk2=
n
X
i=1
|xi|etkxk∞=supi=1,...,n|xi|.
1. V´erifier que ce sont bien des normes.
2. On dit que deux normesn1 etn2sont comparables s’il existe deux r´eelsaet bsrictement positifs tels que
an1(x)≤n2(x)≤bn1(x), ∀x∈IRn.
Montrer que les trois normes pr´ec´edentes sont comparables deux `a deux. On pourra se placer dansIR2 et trouver des r´eels aet bad´equats.
Exercice 2.SiEd´esigne l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [−1,1]
`
a valeurs r´eelles, on d´efinit, pour tout f ∈E, kfk1 = supx∈[−1,1]|f(x)|. Nous savons queE muni de cette norme est un espace de Banach. On consid`ere le sous-espaceF ⊂Edes applications de classeC1. L’objectif est de montrer que F muni de la norme pr´ec´edente n’est pas complet grˆace `a un contre exemple.
On d´efinit la suite (fn)n dansF par:
fn(x) = r 1
n+ 1+x2.
1. Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonctiong que l’on pr´ecisera.
2. Montrer que la suite (fn)n est de Cauchy ( au sens de la norme que l’on a choisie).
3. Conclure que l’espaceF n’est pas complet.
Exercice 3. L’objectif de cet exercice est de munir l’espace F de l’exercice pr´ec´edent d’une nouvelle norme pour laquelle il sera complet.
On pose pour toutf ∈F,kfk2=supx∈[−1,1]|f0(x)|+|f(0)|.
1. V´erifier qu’il s’agit bien d’une norme.
2. Soit (fn)n une suite de Cauchy.
2a. Montrer que la suite des d´eriv´ees converge uniform´ement vers une fonction ϕ.
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2b. En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, montrer que la suite (fn)n
converge uniform´ement vers une fonctionψ.
2c. Montrer queϕ est la d´eriv´ee de ψ puis conclure que l’espace est complet pour cette norme.
On montrera que, pour toutx0∈[−1,1], l’expression ψ(x0+h)−ψ(x0)
h −ϕ(x0)
tend vers 0 lorsquehtend vers 0, apr`es l’avoir d´ecompos´ee en utilisant les fn
et lesfn0 pour nassez grand.
Exercice 4.
Le but de cet exercice est de construire une application lin´eaire non continue d´efinie sur un espace vectoriel de dimension, bien entendu, infinie.
On consid`ere l’espace vectorielEdes suites r´eelles qui sont nulles `a partir d’un certain rang. Ainsi si (un)n ∈E, il existe un entierN tel que un = 0 si n≥N. On d´efinit
kunk=supn|un|.
1. Montrer que cette formule d´efinit une norme surE.
2. Justifier que l’espaceE est de dimension infinie.
3. On d´efinit, pour touti∈IN, la suite (ein)n par ein= 0, si i6=neteii = 1.
On d´efinit ´egalement l’application lin´eairef :E→IR parf((ein)n) =i. Ainsi, si (un)n∈E avec
(un)n=
N−1
X
i=0
ui(ein)n,
on a f((un)n) =PN−1 i=0 uii.
3a. V´erifier quef n’est pas born´ee sur la boule unit´e.
3b. V´erifier ´egalement quef n’est pas continue en 0.
3c. Peut on trouver un point o`u f est continue?
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