a -Montrer que les fonctions polynomiales sont-elles denses dans (C1([0,1],R),k kC1)

Master Math. Fonda. et appliqu´ees Orsay 2007–2008 U4 : Analyse 1er semestre

Feuille d’exercices n^o3

Autour du Th´eor`eme de Weierstrass

Exercice 1 - Une caract´erisation de la fonction nulle Soit f ∈ C([0,1],R) telle que R1

0 f(x)xⁿdx= 0 pour tout n ∈N. Montrer que f est identi- quement nulle.

Indication.Consid´erer R1

0 f(x)²dx.

Exercice 2 - Densit´e des polynˆomes pour la norme C^k. Pourk≥0, etf ∈C^k([0,1],R), on pose

kfk_Ck = sup

t∈[0,1]

|f(t)|+ sup

t∈[0,1]

|f⁰(t)|+· · ·+ sup

t∈[0,1]

|f^(k)(t)|.

a -Montrer que les fonctions polynomiales sont-elles denses dans (C¹([0,1],R),k k_C1).

Indication. On pourra utiliser le th´eor`eme de Weierstrass pour approcher la d´eriv´ee d’une fonction.

b -Plus g´en´eralement, montrer que les fonctions polynomiales sont-elles denses dans l’espace (C^k([0,1],R),k k_Ck) pour toutk.

Exercice 3 - Une version tr`es ´el´ementaire du lemme de Sard

On dit que α est une valeur r´eguli`ere de f ∈ E si f(x) = α entraˆıne f<sup>0</sup>(x) 6= 0. On note Reg ={f ∈E; 0 valeur r´eguli`ere def}.

a - Montrer que, pour toute fonction polynomiale P, on peut trouver ε(P) > 0 tel que P+ε∈Reg pour tout 0< ε < ε(P).

Indication.On pourra introduire l’ensemble C={x∈[0,1]; P⁰(x) = 0}.

b - Montrer que Reg est dense dans (E,k k) (on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent).

Exercice 4 - Approximation des polynˆomes par des polynˆomes

Pour d∈N fix´e, on noteEd l’espace vectoriel des fonctions polynˆomes de degr´e ≤d. On se donned+ 1 r´eels distincts x1,· · ·, x_d+1.

a -Montrer que l’applicationϕ:Ed→R^d+1 d´efinie parϕ(P) = (P(x1),· · · , P(xd+1)) est un isomorphisme.

b -Soit (Pn) une suite de polynˆomes deEdqui converge simplement enx1,· · · , xd+1. Montrer que la suite (P_n) est uniform´ement convergente sur [0,1] vers un P ∈ E_d. La suite des polynˆomes d´eriv´es (P_n⁰) est-elle convergente ?

Exercice 5 - Approximation uniforme par un polynˆome d’interpolation.

On consid`ere un intervalle compact [a, b] deR, des pointsx0, . . . , xn deux `a deux distincts de l’intervalle [a, b], et un nombre >0.

a - Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour toute fonction continue f : [a, b]→R, on peut trouver un polynˆome R_f tel que

R_f(xi) =f(xi) pour touti∈ {0, . . . , n},

et tel que

sup

x∈[a,b]

|R_f(x)| ≤C sup

x∈[a,b]

|f(x)|

b -En d´eduire que, pour toute fonction continuef : [a, b]→R, on peut trouver un polynˆome P_f tel que

P_f(x_i) =f(x_i) pour touti∈ {0, . . . , n}, et tel que

sup

x∈[a,b]

|f(x)−P_f(x)| ≤.

Exercice 6 - Il n’y a pas de th´eor`eme de Weierstrass dans C

On consid`ere D={z∈ C, |z| ≤ 1} et E =C(D,C) muni de la norme du sup. Pour n∈N, on notef_n la fonction d´efinie par f_n(z) = zⁿ pour z ∈ D, et P l’espace vectoriel engendr´e par les (f_n)n∈N. Montrer queP n’est pas dense dans E.

Indication.Montrer que g:z→ z n’est pas adh´erent `a P en consid´erant l’application c−1 : E→Cd´efinie par c−1(f) = _2π¹ R2π

0 f(e^it)e^itdt.

Exercice 7 - Un th´eor`eme de Weierstrass non-compact

On note E = C₀(R⁺,R) l’espace des fonctions continues f : R⁺ → R telles que f(x) → 0 quand x→+∞. On munitE de la norme uniforme

kfk_∞= sup

x∈R⁺

|f(x)|

Pour n∈N^∗, on d´efinit hn∈E parhn(x) =e^−nx pourx≥0.

a - Soit g : [0,1] → R continue et telle que g(0) = 0. Montrer que ∀ε > 0, il existe un polynˆome P tel queP(0) = 0 et ∀t∈[0,1],|g(t)−P(t)| ≤ε.

b - En d´eduire que l’espace vectorielV engendr´e par les (hn)n∈N^∗ est dense dansE.

Exercice 8 - NormeL¹ et valeur en 0

Soit E = C⁰([0,1],R). On munit E de la norme kfk₁ = R1

0 |f(t)|dt. Soit P_n ⊂ E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degr´e ≤nsur [0,1].

a -Montrer qu’il existe une constanteC_n telle que |f(0)| ≤C_nkfk₁ pour toute f ∈ P_n. b -Montrer queC_n→ ∞ quandn→ ∞ (utiliser le th´eor`eme de Weierstrass).

Exercice 9 - Approximation par des polynˆomes croissants.

SoitI un intervalle compact, etf :I →Rune fonction continue et croissante. On veut montrer qu’il existe une suite de fonctions polynˆomiales croissantes qui converge vers f. (Attention, ce sont les fonctions polynˆomiales qui doivent croissantes, pas la suite).

Indications.Commencer par le cas o`uf est de classeC<sup>1</sup> et o`u la d´eriv´ee def ne s’annule pas (utiliser une suite de polynˆomes qui approchentf⁰). Puis r`egler le casf estC¹, mais avec une d´eriv´ee qui s’annule. Et enfin, traiter le cas g´en´eral en approchantf par une fonctionC¹.

Exercice 10 - Polynˆome de meilleure approximation.

SoitI un intervalle compact etf :I →Rune fonction continue.

a -Existence.Montrer que pour tout entiern, il existe un polynˆome Pn∈Rn[x] tel que

kf −P_nk∞= inf

P∈Rn[x]kf −Pk∞

Un tel polynˆome est ditpolynˆome de meilleure approximation de degr´e n def. Indication.Consid´erer B ={P ∈Rn[x];kPk_∞≤2kfk_∞} et conclure par compacit´e.

b -Caract´erisation.Montrer que, siP est un polynˆome de meilleure approximation def de degr´e n, il existe n+ 2 pointsx0, . . . , xn+1 et une constante =±1 tels que

f(x_i)−P(x_i) =.(−1)ⁱ.kf−Pk_∞

(On dit quef−P ´equioscille sur les pointsx₀, . . . , x_n+1.)

Indication.Si x₀, . . . , x_m est une suite maximale sur laquelle f −P ´equioscille, avec m ≤n, choisir des points ξi ∈]x_i, xi+1[ tels que P −ηQ

(x−ξi) soit, pour η petit, une meilleure approximation def queP.

c -Unicit´e.En d´eduire que pour tout n, il n’y a qu’un seul polynˆome de meilleure approxi- mation de degr´en de f.

d -D´eterminer P0 pour toute fonction continuef, etP1 pour f convexe ou concave.