Questions ROC sur les comparaisons de limites de suites et de fonctions
Montrer que si f et g sont deux fonctions avec f ≤≤≤≤ g sur un intervalle I contenant αααα (réel ou infini) avec lim
x→→→→αααα g(x) = −−−−∞∞∞∞ alors lim
x→→→→ααααf(x) = −−−−∞∞∞ ∞ Soit J = ]A;+∞[ un intervalle ouvert et α = +∞ .
x→+∞lim f(x) = +∞ ,
donc il existe un réel M tel que pour tout x ≥ M alors f(x)∈ J , donc f(x) > A Pour tout réel x de I , supérieur à M on a g(x) ≥ f(x) > A , donc g(x) ∈ J donc lim
x→+∞g(x) = +∞
Montrer que si f et g sont deux fonctions avec f ≤≤≤≤ g sur un intervalle I contenant αααα (réel ou infini) avec lim
x→→→→αααα f(x) = L et lim
x→→→α→αααg(x) = L' , alors L ≤ L' Supposons L > L' , il existe K ∈ ]L';L[ et α = +∞
]−∞;K[ est un intervalle ouvert contenant L' , donc pour x assez grand , g(x) ∈ ]−∞;K[
]K;+∞[ est un intervalle ouvert contenant L , donc pour x assez grand , f(x) ∈ ]K;+∞[
donc pour x assez grand , K < f(x) ≤ g(x) < K absurde
Théorème des gendarmes (fonctions)
Soient f,g,h sont des fonctions définies sur un intervalle I contenant α (réel ou infini) Si lim
x→→→α→αααg(x) = lim
x→→→α→αααh(x) = L et si g ≤≤≤≤ f ≤≤≤≤ h sur I alors lim
x→→→→αααα f(x) = L Soit J un intervalle ouvert contenant L et α = +∞ .
x→lim+∞g(x) = L , donc il existe un réel M tel que si x ≥ M alors g(x) ∈ J x→lim+∞h(x) = L , donc il existe un réel M' tel que si x ≥ M' alors h(x) ∈ J
Pour tout réel x supérieur à la fois à M et M' on a g(x) ∈ I , h(x) ∈ I et g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) donc f(x) ∈ I
donc lim
x→+∞g(x) = L
