LIMITES DE FONCTIONS.
Dans tout le chapitre, sauf précision contraire, f et g désigne des fonctions définies sur une partie de .
I. Limite en + et .
1. Limite finie en + ou .
Définition : Soit L un réel. On dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers + (ou que L est la limite de f en + ) quand tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note lim
x
f(x) = L. Autrement dit, pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un réel m tel que : si x > m, alors f(x) ϵ I.
On définit de même lim
x
f(x) L.
Lorsque lim
x
f(x) L (resp lim
x
f(x) L), on dit que la droite d équation y L ...
... (resp en ) Graphiquement :
Exemple : Soit f la fonction définie sur * par f(x) 2 1 x .
2. Limite infinie en + ou .
Définitions : On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + quand tout intervalle de type ]A ; + [ où A est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note lim
x
f(x) = + . Autrement dit, pour tout réel A, il existe un réel M tel que : si x > M, f(x) A.
On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers + quand tout intervalle de type ] ; B[ où B est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note lim
x
f(x)= . Autrement dit, pour tout réel B, il existe un réel M tel que : si x > M, f(x) < B.
On définit de même lim
x
f(x) = + et lim
x
f(x) = .
Graphiquement :
II. Limite en a (a réel).
1. Limite infinie en un réel.
Définitions : Soit f une fonction et a un réel, borne de l ensemble de définition de f mais n appartenant pas à cet ensemble de définition.
On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers a quand tout intervalle de type ]A ; + [ où A est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. On note lim
x a
f (x) = + .
On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers a quand tout intervalle de type ] ; B[ où B est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. On note lim
x a
f (x) = . Lorsque lim
x a
f(x) = + ou lim
x a
f(x) = , on dit que la droite d équation x=a est ...
...
Remarque : en pratique, on est parfois amené à étudier séparément les limites de f pour x a et pour x a. On parle alors de limite à droite en a, notée lim
x a
f(x) et de limite à droite en a, notée lim
x a
f(x).
Graphiquement :
III. Limites de référence (admises et à connaître).
lim
x
1
x lim
x
1
x ...
lim
x 0
1
x = ... lim
x 0
1 x = Pour tout entier n > 0 :
lim
x
xn lim
x
xn
lim
x
1
xn lim
x
1
xn ...
lim
x 0
1
xn lim
x 0
1 xn
IV. Opérations sur les limites.
a désigne soit un réel, soit + , soit . L et L’ désignent des réels et f et g des fonctions.
Les règles sont les mêmes que pour les limites de suites.
1. Limite d’une somme.
si lim
x a
f(x) = L L ou + L ou +
et li m
x a
g(x) = L’ +
alors lim
x a
(f g)(x) = L + L’ + F I
2. Limite d’un produit.
si li m
x a
f(x) = L L > 0 ou
+ L < 0 ou
L > 0 ou
+ L < 0 ou 0
et li m
x a
g(x) = L’ + + + ou
alors lim
x a
(fg)(x) = L L’ + + F I
3. Limite d’un quotient.
a. Si la limite de g n’est pas nulle.
si li m
x a
f(x) = L l + + + ou
et li m
x a
g(x) = L’0 + ou
L >0 L ’<0 L >0 L <0 + ou alors lim
x a
f
g (x) = L L
0 + + F I
b. Si la limite de g est nulle.
lim
x a
g(x) 0 signifie que la limite de g en a est nulle et que pour x proche de a, g(x) est positif.
si li m
x a
f(x) = L>0 ou + L <0 ou L>0 ou + L <0 ou 0 et li m
x a
g(x) = 0+ 0+ 0 0 0
alors lim x a
f
g (x) = + + F I
LES CAS DE F I SERONT TRANSFORMES POUR POUVOIR DETERMINER LA LIMITE.
Exemples : Déterminer lim
x
2x3 3x2 x x2 x 1
Déterminer lim
x 2
1 (x 2)2
Déterminer lim
x 2
x 1 x² 4
V. Limite d une fonction composée.
Si f et g sont des fonctions , la fonction x f(g(x)) est notée f◦g et est appelée composée de g par f.
Théorème (admis) : Soit a, b et c trois réels ou + ou . Soit f et g deux fonctions.
Si lim
x a
g(x) b et lim
X b
f(x) c alors lim
x a
f(g(x)) c
Exemple : Déterminer lim
x
1
x 5
2
VI. Théorèmes de comparaison.
Théorème (admis) : a et L représentent deux réels ou + ou et f, g et h sont trois fonctions.
Si, pour tout réel x proche de a : g(x) f(x) h(x) et lim
x a
g(x) lim
x a
h(x) L; alors lim
x a
f(x) L.
Si, pour tout réel x proche de a : g(x) f(x) et lim
x a
g(x) + ; alors lim
x a
f(x) + . Si, pour tout réel x proche de a : f(x) h(x) et lim
x a
h(x) ; alors lim
x a
f(x) .
Remarque : On fait apparaître les limites dans le tableau de variation de la fonction.
Application : construire le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) 2 x 1.
