Chap 14
G´ en´ eralit´ es sur les fonctions
Dans ce chapitre,K d´esigneR ou C, etX un sous-ensemble de R (en g´en´eral un intervalle de R).
1 G´ en´ eralit´ es sur les fonctions R Ñ K
1.1 Structure de KX
D´efinition. KX est muni de deux lois de composition interne etd´efinies par :@pf, gq P KX,
f g : X Ñ K
x ÞÑ fpxq gpxq
f g : X Ñ K
x ÞÑ fpxq gpxq
Proposition.
D´efinition. Il y a une autre loi, diteexterne, d´efinie par
K KX Ñ KX
pλ, fq ÞÑ λf t.q. @xPX, pλfqpxq λfpxq
Remarque.
D´efinition. Pour f P KX, on d´efinit |f| : X Ñ R
x ÞÑ |fpxq|
Attention. en g´en´eral,|f| f et|f| f.
D´efinition. Pour f P CX on d´efinit les fonctionsf, Ref, Imf. 1.2 Parit´e
Remarque. Ici, X est sym´etrique par rapport `a0,i.e.@x, xPX ùñ xPX.
D´efinition. Soit f P KX
• f est paire si et ssi@xPX, fpxq fpxq;
• f est impairesi et ssi @xPX, fpxq fpxq. Exemple.
Propri´et´e. On note P l’ensemble des fonctions paires et I l’ensemble des fonctions impaires. Ce sont des
ensembles non vides, inclus dans KX, stables par combinaisons lin´eaires. On dit que ce sont des sous-espaces
vectoriels de KX. 1.3 P´eriodicit´e
D´efinition. Soit f P KX etT P R. On dit quef est T-p´eriodique si et ssi@xPX
#
x T PX fpx Tq fpxq Remarque.
Exemple.
• les fonctions sin, cos, tan ;
• f : R Ñ R x ÞÑ x txu Remarque.
1.4 Fonctions lipschitziennes
D´efinition. Soit f P KX. On dit quef est k-lipschitziennesi et seulement si :
@px, yq PX2, |fpyq fpxq| ¤k|yx|
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Chap 14 – G´en´eralit´es sur les fonctions
2 Cas des fonctions ` a valeurs r´ eelles
2.1 Relation d’ordre dans RX
D´efinition. Pour f etg dansRX, on dit que
f ¤g si et ssi@xPX, fpxq ¤gpxq
Proposition.
• C’est une relation d’ordre
• tous les ´el´ements ne peuvent pas ˆetre compar´es ;
• ¤est compatible avec
• ¤est compatible avec
D´efinition. Soit f, gP RX. On d´efinit
maxpf, gq : X Ñ R
x ÞÑ maxpfpxq, gpxqq Remarque. On d´efinit de mˆeme minpf, gq.
Attention.
D´efinition. Soit f P RX. On d´efinit f maxpf,0q etfmaxpf,0q. Exemple.
2.2 Monotonie des fonctions X Ñ R D´efinition. Soit f P KX. On dit quef est :
• croissante sur X si et ssi @px, yq PX2 x¤y ùñ fpxq ¤fpyq
• strictement croissante sur X si et ssi@px, yq PX2 x y ùñ fpxq fpyq
• d´ecroissante sur X si et ssi @px, yq PX2 x¤y ùñ fpxq ¥fpyq
• strictement d´ecroissante sur X si et ssi@px, yq PX2 x y ùñ fpxq ¡fpyq
• monotone sur X si et ssi f est croissante ou d´ecroissante sur X.
Exemple.
Propri´et´e. Si une fonction est strictement monotone, alorselle est injective.
Attention.
Propri´et´e. Sif est croissante surI,gest croissante surJ etfpIq J, alorsgf est croissante surI. Remarque.
2.3 Applications major´ees, minor´ees, born´ees 2.3.1 Majorant etc.
D´efinition. Soit f P RX. On dit que f est major´ee (resp. minor´ee) si et seulement s’il existe M P R (resp.
mP R) tel que @xPX, fpxq ¤M presp.fpxq ¥mq
D´efinition. Soit f P KX. On dit quef est born´ee si et ssi|f|est major´ee.
Remarque.
2.3.2 Extremum
D´efinition. Soit f P RX etaPX. On dit que :
• f admet un maximum en asi et ssi@xPX, fpxq ¤fpaq
• f admet un maximum stricten asi et ssi @xPXrtau, fpxq fpaq
• f admet un maximum local en asi et ssiDη ¡0 t.q.@xPsaη, a ηrXX, fpxq ¤fpaq
• f admet un maximum local stricten asi et ssi Dη¡0 t.q.@xPsaη, a ηrXXrtau, fpxq fpaq Remarque.
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Chap 14 – G´en´eralit´es sur les fonctions 2.3.3 Borne sup etc.
D´efinition. Si f P RX est major´ee (resp. minor´ee), alors fpXq est une partie non vide major´ee de R (resp.
minor´er) donc admet une borne sup´erieure (resp. borne inf´erieure). Celle-ci est appel´ee borne sup´erieure
(resp. borne inf´erieure) def, et not´ee sup
xPX
fpxq ou sup
X
f Proposition.
sup
X
pf gq ¤sup
X
f sup
X
g
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Chap 14 – G´en´eralit´es sur les fonctions
14.1Soitf,g:RÑRtellesque @px,yqPR2 ,pfpxqfpyqqpgpxqgpyqq0 Montrerquel’uneaumoinsdesdeuxfonctionsf,gestconstante. fonction_1.tex 14.2Trouvertouteslesapplicationsf:RÑRtellesque: (a)@xPR,fpxqfpx2 1qsinx; (b)@xPR,xfpxqfp1xqx3 1; (c)@px,yqPR2,fpxy2qfpx2qfpyq; (d)@px,yqPR2 ,|fpxqfpyq||xy|; (e)@px,yqPR2 ,|fpxqfpyq||xy|; fonction_2.tex 14.3Montrerquelarelation¤n’estpastotalesurRX ,c’est-`a-dire quedeuxfonctionsquelconquesnesontpasn´ecessairementcompa- rables.fonction_3.tex 14.4SoitXunepartiedeR.V´erifierquepourtoutesfonctionsf,g deRX : (a)suppf,gqfpgfqetinfpf,gqgpgfq (b)fff et|f|ff (c)pfgq¤fg.A-t-on´egalit´e? fonction_4.tex 14.5Sif:XÑRestpaireouimpaire,etg:XÑRestpaire ouimpaire,quediredelafonctionfg?fonction_5.tex 14.6Inventerunepropri´et´econcernantlap´eriodicit´edescompo- s´eesdefonctions.fonction_6.tex
14.7Soitf:RÑRunefonction.OnnotePfttPRt.q.@xP R,fpxtqfpxqu. (a)MontrerquePfestinclusdansR,nonvide,stablepourlasomme, stableparpassage`al’oppos´e.Onditquec’estunsous-groupe deR. (b)MontrerquePfpeutˆetrededeuxtypes:delaformeaZou densedansR. (c)Donnerunexempleillustrantchacundescas. fonction_7.tex 14.8Donnerunexemplenontrivialdefonctionp´eriodique`ava- leurscomplexes.fonction_8.tex 14.9R´esoudredansRl’´equationx18 x10 544fonction_9.tex 14.10Soitf:RÑRtelleque # ffestcroissante fffeststrictementd´ecroissante Montrerquefeststrictementd´ecroissante.fonction_10.tex 14.11Soitfunefonctionpaireetgunefonctionimpaired´efinies surra,as.Montrerquesilarestrictiondef`ar0,asestcroissante (resp.d´ecroissante),alorslarestrictiondef`ara,0sestd´ecroissante (resp.croissante).Montrerquesilarestrictiondeg`ar0,asestcrois- sante(resp.d´ecroissante),alorsgestcroissante(resp.d´ecroissante)sur ra,as.Fairedesfiguresrepr´esentantcesdiff´erentscas.fonction_11.tex 14.12MontrerquetoutefonctionRÑRpeuts’´ecrirecommela sommed’unefonctionpaireetd’unefonctionimpaire.Cette´ecriture est-elleunique?fonction_12.tex
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