Fonctions définies par une intégrale
1. (25)
(a) Démontrer que, pour tout entiern, la fonction t7−→ 1
1 +t2+tne−t est intégrable sur[0,+∞[.
(b) On poseun= Z +∞
0
dt
1 +t2+tne−t. Calculer lim
n→+∞un. 2. (26) Pour toutn>1, on poseIn=
Z +∞
0
1 (1 +t2)ndt.
(a) Justifier queIn est bien définie.
(b) Étudier la monotonie de la suite(In)n∈N∗ et déterminer sa limite.
(c) La sérieX
n>1
(−1)nIn est-elle convergente ?
3. (29) On pose : ∀x∈]0; +∞[et∀t∈]0; +∞[,f(x, t) =e−ttx−1.
(a) Démontrer que,∀x∈]0,+∞[, la fonctiont7→f(x, t)est intégrable sur]0; +∞[.
On pose alors,∀x∈]0; +∞[,Γ(x) = Z +∞
0
e−ttx−1dt.
(b) Démontrer que, ∀x∈]0; +∞[,Γ(x+ 1) =xΓ(x).
(c) Démontrer queΓest de classeC1 sur]0; +∞[et exprimerΓ0(x)sous forme d’intégrale.
4. (30 partiel)
(a) Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
(b) Démontrer que la fonction f :x7−→
+∞
Z
0
e−t2cos (xt)dt est de classeC1 surR. %item
5. (49)SoitX
an une série absolument convergente à termes complexes. On poseM =
+∞
X
n=0
|an|.
(a) Énoncer le théorème d’intégration terme à terme sur un intervalleI quelconque pour une série de fonctions Pfn.
(b) On pose : ∀n∈N, ∀t∈[0,+∞[, fn(t) =antn n! e−t. i. Justifier que la suite(an)est bornée.
ii. Justifier que la série de fonctionsPfn converge simplement sur[0,+∞[.
iii. Prouver quef: t7→
+∞
X
n=0
fn(t)est continue sur[0,+∞[.
(c) i. Justifier que,∀n∈N, la fonctiongn:t7→tne−test intégrable sur[0,+∞[et calculer Z +∞
0
tne−tdt.
En déduire la convergence et la valeur de Z +∞
0
|fn(t)|dt.
ii. Prouver que Z +∞
0
+∞
X
n=0
antn n! e−t
! dt=
+∞
X
n=0
an.
6. (50) Soitx∈R. On considère la fonction F :x7→
Z +∞
0
e−2t x+tdt.
(a) Prouver queF est définie et continue sur]0; +∞[.
(b) Prouver quex7−→xF(x)admet une limite en+∞et déterminer la valeur de cette limite.
(c) Déterminer un équivalent, au voisinage de+∞, deF(x).
7. Soitf :x7→
Z +∞
0
dt 1 +x3+t3
(a) Montrer quef est définie surR+.
(b) A l’aide du changement de variableu= 1/t, calculerf(0).
(c) Montrer quef est continue est décroissante.
(d) Déterminer lim
+∞f.
8. SoitE un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit f une application de classe C∞ de Rdans E. On considère l’applicationg deRdansEdéfinie par : g:x→
( f(x)−f(0)
x six6= 0
f0(0) six= 0 (a) Montrer que pour tout réelx,g(x) =R1
0 f0(tx)dt (b) Montrer que gest de classeC∞ deRdansE.
(c) Calculerg(n)(0)pourn∈N
9. (a) Justifier que l’intégrale suivante est définie pour toutx >0 f(x) = Z 1
0
tx−1 1 +tdt (b) Justifier la continuité de f sur son domaine de définition.
(c) Calculerf(x) +f(x+ 1)pourx >0.
(d) Donner un équivalent def(x)quandx→0+ et la limite def en+∞.
10. Soientf :I×R→Ret u, v:I→Rcontinues.Montrer quex7→Rv(x)
u(x)f(x, t)dtest continue.
11. Soit α >0. Déterminer lim
x→+∞
Z π
0
tαcos2(xt)dt
12. (a) Justifier l’existence et calculer Z +∞
0
cos(xt)e−tdt.
(b) SoitF :x7→
Z +∞
0
sin(xt)
t e−tdt. Justifier queF est définie et continue surR. (c) Justifier queF est de classeC1 et calculerF0(x).
(d) En déduireF(x).
13. Pourx >0et α >0 exprimer Z +∞
0
tx−1e−tαdtà l’aide de la fonctionΓ 14. L’objectif de cet exercice est de calculerΓ0(1) =
Z +∞
0
ln(t)e−tdt.
(a) Montrer que pour toutt∈[0, n], 06 1−ntn−1
6e.e−t (b) Montrer que lim
n→+∞
Z n
0
ln(t)
1− t n
n−1
dt= Z +∞
0
ln(t)e−tdt
(c) Montrer : Z n
0
ln(t)
1− t n
n−1
dt= lnn+ Z 1
0
(1−u)n−1
u du
(d) En déduire queΓ0(1) =−γ oùγdésigne la constante d’Euler.
(e) CalculerΓ0(2).
15. Soit f :R+→Cune fonction continue. Pourx∈Ron pose Lf(x) = Z +∞
0
f(t)e−xtdt
(a) Montrer que si Z +∞
0
f(t)e−xtdtconverge alors Z +∞
0
f(t)e−ytdtconverge poury > x.
(b) Quelle est la nature de l’ensemble de définition de Lf (c) On supposef bornée. montrer que lim
x→+∞Lf(x) = 0
