1.1 Fonctions définies sur R

Fonctions réelles définies sur R ⁿ

Table des matières

1 Introduction aux fonctions définies surRⁿ 2

1.1 Fonctions définies surRⁿà valeurs dansR. . . 2

1.2 Équation du graphe d’une fonction définie surRⁿ. . . 2

1.3 Lignes de niveau pour les fonctions de deux variables. . . 2

1.4 Continuité d’une fonction deRⁿdansR. . . 3

1.5 Opérations sur les fonctions continues. . . 3

2 Calcul différentiel 4 2.1 Dérivées partielles, gradient . . . 4

2.1.1 Fonctions partielles en un point. . . 4

2.1.2 Dérivées partielles d’ordre 1. . . 4

2.1.3 Gradient en un pointx. . . 4

2.1.4 Fonctions de classeC¹surRⁿ. . . 4

2.1.5 Opérations sur les fonctions de classeC¹. . . 5

2.1.6 Développement limité . . . 5

2.2 Dérivée directionnelle . . . 6

2.2.1 Paramétrisation de la droiteDpassant parx, de vecteur directeuru. . . . 6

2.2.2 Sif est de classeC¹, dérivée de la fonctiongdéfinie surRparg(t) = f(x+th). . . 6

2.2.3 Dérivée directionnelle def au pointxdans la directionh. . . . 7

2.3 Recherche d’extremum : condition d’ordre 1 . . . 7

2.3.1 Définition d’un extremum local, d’un extremum global. . . 7

2.3.2 Condition nécessaire du premier ordre. Point critique. . . 7

1 Introduction aux fonctions définies sur R

1.1 Fonctions définies sur R

à valeurs dans R .

Définition

Une fonction deRⁿdansRest dite affine s’il existe(α0,α1, . . . ,αn)∈Rⁿ⁺¹tel que :

∀x= (x₁,x₂, ...,x_n)∈Rⁿ, f(x) =α0+

n

X

i=1

αix_i

Définition

On appelle fonction polynomiale denvariables, une somme de fonctions de la forme : (x₁, . . . ,x_n)7−→a x₁^p1. . .x_n^pn oùa∈R,p₁, . . . ,p_n∈N.

Une fonction affine est un cas particulier de fonction polynomiale)

1.2 Équation du graphe d’une fonction définie sur R

.

Cas des fonctions affines denvariables.

Définition

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR.

On appelle graphe de la fonction f le sous-ensemble deRⁿ⁺¹défini par : G_f ={ x₁,x₂, . . . ,x_n,f(x₁, . . . ,x_n)

∈Rⁿ⁺¹/(x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿ}

i.e l’ensemble desn+1-uplets de réels(x₁,x₂, . . . ,x_n,x_n+1)vérifiant la relationx_n+1= f(x₁,x₂, ....,x_n) où (x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿ.

Cas particulier des fonctions affines:

Dans ce cas, le graphe de f est l’ensemble d’équation x_n+1=α0+

n

X

i=1

αix_i. (Il s’agit d’un hyperplan affine deRⁿ⁺¹)

Cas particulier des des fonctions de deux variables: G_f ={ x,y,f(x,y))

∈R³/(x,y)∈R²}.

C’est la surface deR³, d’équation :z= f(x,y)

(c’est-à-dire l’ensemble des triplets(x,y,z)∈R³vérifiant la relation :z=f(x,y))

1.3 Lignes de niveau pour les fonctions de deux variables.

Définition

Soit f une fonction définie surR²à valeurs dansR. Soita∈R.

On appelle ligne de niveaual’ensemble défini par :

Γa={(x,y)∈R²/f(x,y) =a}.

Géométriquement, la ligne de niveau est la projection sur le plan(x,y)de l’intersection de la surface représentative de f avec le plan d’équationz =a. Par exemple, si f représente la hauteur d’un point de la surface terrestre, ses courbes de niveau sont celles qui apparaissent sur les cartes topographiques.

1.4 Continuité d’une fonction de R

dans R .

Définition

Une fonction f, définie surRⁿ, est continue au pointx₀deRⁿsi :∀" >0,∃α >0,∀x∈Rⁿ,

||x−x₀||¶α=⇒

f(x)−f(x₀) ¶". Définition

f est continue surRⁿsi et seulement si f est continue en tout point deRⁿ. Théorème

Les fonctions polynomiales denvariables sont continues surRⁿ. Exercice 1 On considère l’application f définie par : x∈Rⁿ7→f(x) =kxk

1. Montrer que

∀(x,y)∈Rⁿ×Rⁿ , | kxk − kyk |¶kx−yk. 2. En déduire que f est continue surRⁿ.

1.5 Opérations sur les fonctions continues.

Théorème

La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions continues sur Rⁿà valeurs dansRsont continues surRⁿ.

Théorème de composition

La composition d’une fonction f continue surRⁿà valeurs dans un intervalleI deRpar une fonctionϕcontinue sur Ià valeurs dansRest continue.

En d’autres termes : Rⁿ

−→f I⊂R−→^ϕ R

x7−→f(x)7−→ϕ(f(x))

Si f est en continue surRⁿet siϕest continue sur l’intervalleI alorsϕo f est continue surRⁿ. Exercice 2 On considère l’application f définie par : x= (x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿ7→f(x) =kxk

1. Donner l’expression de f(x₁, . . . ,x_n).

2. En utilisant un théorème de composition, montrer que f est continue surRⁿ.

2 Calcul différentiel

Les fonctions sont désormais supposées définies et continues sur R

.

2.1 Dérivées partielles, gradient

2.1.1 Fonctions partielles en un point.

Définition

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR. Soita= (a₁,a₂, ....,a_n)∈Rⁿ

Pour touti∈ {1, 2, ...,n}la fonction f_a,idéfinie surRpar

∀t∈R , f_a,i(t) = f(a₁, ...,a_i−1,t,a_i+1, ...,a_n) est appeléei^èmefonction partielle de f ena.

2.1.2 Dérivées partielles d’ordre 1.

Définition

Soitx∈Rⁿ, x= (x₁, ...,x_n). et f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR.

On dit que f admet unei^eme dérivée partielle enxsi sai^emefonction partielle en xest dérivable enx_i c.a.d si l’applicationt∈R7→f(x₁, ...,x_i−1,t,x_i+1, ...,x_n)est dérivable enx_i. Dans ce cas, on note

∂i(f)(x) =lim

t→0

1

t f(x₁, ...,x_i−1,x_i+t,x_i+1, ...,x_n)−f(x₁, ...,x_i−1,x_i,x_i+1, ...,x_n) ou encore(e₁, . . . ,e_n)étant la base canonique deRⁿ

∂i(f)(x) =lim

t→0

1

t f(x+t e_i)−f(x) Remarque

∂i(f)(x) =g⁰(0)oùgest la fonctiont∈R7→f(x+t e_i). Définition

Si f admet unei^emedérivée partielle en tout point deRⁿ, on désigne alors par∂i(f), l’application deRⁿdansR:x7−→∂i(f)(x).

2.1.3 Gradient en un pointx. Définition

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR. Soitx∈Rⁿ. On suppose que lesndérivées partielles de f existent enx.

On appelle gradient de f en x, l’élément deRⁿnoté∇(f)(x)ou∇f(x)et défini par :

∇(f)(x) = (∂1(f)(x), . . . ,∂n(f)(x)) = ∂i(f)(x)

1¶i¶n

2.1.4 Fonctions de classeC¹surRⁿ.

Définition d’une application de classeC¹:

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR. f est de classeC¹surRⁿsi pour touti∈[[1,n]], f admet unei^èmedérivée partielle d’ordre 1 continue surRⁿ.

Théorème

Les fonctions polynomiales denvariables sont des fonctions de classeC¹surRⁿ. Définition d’un point critique

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR.

On suppose que f est de classeC¹surRⁿ. Soita∈Rⁿ.

On dit queaest un point critique de f lorsque∇(f)(a) =0 c’est-à-dire lorsque

∀i∈[[1,n]] , ∂i(f)(a) =0

Exercice 3 Calculer toutes les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions données : 1. f(x,y) =y⁵−3x y

2. f(x,y) =x²+3x y²−6y⁵ 3. f(x,y) =xcos(e^{x y})

4. f(x,y,z) =xcos(xz) +ln(2−sin²(y+z)) Exercice 4 Soit f la fonction définie surR²par :

f(x,y) = x y² 2 + x³

3 −4x+y². Déterminer les points critiques de f .

Exercice 5 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à2.

On considère la fonction de n variables réelles, notée f , définie par :

∀(x₁,x₂, . . . ,x_n)∈Rⁿ, f(x₁,x₂, . . . ,x_n) =

n

X

k=1

x²_k+

n

X

k=1

x_k

!2

−

n

X

k=1

x_k

1. Montrer que f est de classe C¹surRⁿ. 2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 de f .

3. Déterminer le seul point critique(a₁,a₂, . . . ,a_n)de f surRⁿ. 2.1.5 Opérations sur les fonctions de classeC¹.

Théorème

La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux fonctions de classeC¹sur Rⁿà valeurs dansRsont de classeC¹surRⁿ.

Théorème de composition

La composition d’une fonction f de classeC¹surRⁿà valeurs dans un intervalleI deRpar une fonctionϕ de classeC¹surIà valeurs dansRest de classeC¹.

En d’autres termes : Rⁿ

−→f I⊂R−→^ϕ R

x7−→f(x)7−→ϕ(f(x)

Si f est en de classeC¹surRⁿet siϕest de classeC¹sur l’intervalleI alorsϕo f est de classeC¹surRⁿ. 2.1.6 Développement limité

Définition

On dit que f admet un développement limité d’ordre 1 en un pointx∈Rⁿlorsqu’il existe une application affine Pdenvariables et une application"continue en 0 telle que"(0) =0 vérifiant :

∀h∈Rⁿ , f(x+h) =P(h) +||h||"(h) Autre écriture

f(x+h) =P(h) +o(||h||)

Théorème

Si f est une fonction de classeC¹, alors f admet en tout pointx∈Rⁿun développement limité d’ordre 1.

Ce développement limité est unique. Il est donné par la formule :

f(x+h) = f(x) +〈∇(f)(x),h〉+||h||"(h) où"(0) =0 et"continue en 0.

Remarque

Sih= (h₁, . . . ,h_n), noter que :〈∇(f)(x),h〉=

n

X

i=1

∂i(f)(x)·h_i. Cas particuliern=2

Soit f :R²−→Rde classeC¹,(x,y)7−→f(x,y). Soit(x₀,y₀)∈R². Le développement limité d’ordre 1 de fen(x₀,y₀)s’écrit :

f(x₀+h₁,y₀+h₂) = f(x₀,y₀) +∂1(f)(x₀,y₀)h₁+∂2(f)(x₀,y₀)h₂+k(h₁,h₂)k"(h₁,h₂) où"(0, 0) =0 et"continue en(0, 0).

Avec un changement de variable (h₁=x−x₀,h₂= y−y₀), ce développement limité s’écrit :

f(x,y) = f(x₀,y₀) +∂1(f)(x₀,y₀)(x−x₀) +∂2(f)(x₀,y₀)(y−y₀)+k(x−x₀,y−,y₀)k"(x−x₀,y−,y₀) Le graphe de f est la surfaceS d’équationz= f(x,y).

S admet enM₀= (x₀,y₀,f(x₀,y₀))un plan tangent d’équation :

z=f(x₀,y₀) +∂1(f)(x₀,y₀)(x−x₀) +∂2(f)(x₀,y₀)(y−y₀) Exercice 6 soit la fonction f définie surR³par :

∀(x,y,z)∈R³, , f(x,y,z) =1+x y²+x²z 1. Montrer que f est de classe C¹surR³.

2. Soit a= (2, 1, 0). Montrer que∇(f)(a) = (1, 4, 4).

3. Montrer que le développement limité d’ordre 1 de f en a s’écrit :

f(2+h₁, 1+h₂,h₃) =3+h₁+4h₂+4h₃+k(h₁,h₂,h₃)k"(h₁,h₂,h₃)

2.2 Dérivée directionnelle

2.2.1 Paramétrisation de la droiteDpassant parx, de vecteur directeuru.

Définition

Soitx∈Rⁿetu∈Rⁿ\{0_Rⁿ}. La droite passant parx et de vecteur directeuruest l’ensemble : D={x+tu, t∈R}.

2.2.2 Sif est de classeC¹, dérivée de la fonctiongdéfinie surRpar g(t) =f(x+th). Théorème

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR, de classeC¹. Soitx∈Rⁿeth= (h₁, . . . ,h_n)∈Rⁿ. On considère la fonction gdéfinie surRpar

∀t∈R, , g(t) = f(x+th). Alors gest dérivable surRet sa dérivée est donnée par :

∀t∈R, , g⁰(t) =〈∇(f)(x+th),h〉=

n

X

i=1

∂i(f)(x+th)·h_i.

2.2.3 Dérivée directionnelle de f au pointxdans la directionh.

Définition

Soit f :Rⁿ−→RSoitx∈Rⁿ. Soith∈Rⁿ. On appelle dérivée directionnelle de f enxdans la directionh, la dérivée en 0 de g:t7−→f(x+th)si cette dérivée existe. Il s’agit donc de

g⁰(0) =lim

t→0

1

t f(x+th)−f(x) si cette limite existe.

Théorème

Soit f une fonction définie surRⁿà valeurs dansR, de classeC¹. Soitx∈Rⁿeth∈Rⁿ.

Alors f admet enxune dérivée directionnelle dans la directionhqui est :g⁰(0) =〈∇(f)(x),h〉. oùg:t7−→f(x+th).

Interprétation géométrique du gradient dans le cas oùhest un vecteur de norme 1.

Supposons∇(f)(x)non nul. À norme dehconstante égale à 1, la valeur absolue de la dérivée directionnelle de f au pointxdans la directionh, est maximale lorsquehest colinéaire à∇(f)(x). Donc la direction de∇(f)(x) donne la direction de la pente la plus forte au départ du point x(la direction dans laquelle la variation de

f au voisinage dexest maximale). Le sens de∇(f)(x)est celui de la pente ascendante.

De plus∇(f)(x)est perpendiculaire à la courbe de niveau passant parx(penser aux pistes de ski..) Exercice 7 Soit f l’application deRⁿdansRdéfinie par :

∀(x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿ , f(x₁, . . . ,x_n) =

n

X

k=1

x_k²

Déterminer la dérivée première directionnelle de f au point(1, . . . , 1)dans la direction du vecteur u= ^p1_n, . . . ,p¹n

.

2.3 Recherche d’extremum : condition d’ordre 1

2.3.1 Définition d’un extremum local, d’un extremum global.

Soitf une fonction définie surRⁿà valeurs dansReta∈Rⁿ.

„On dit que f présente un minimum local enalorsque :∃α >0,∀x∈Rⁿ,

||x−a||¶α=⇒f(x)¾f(a)

„On dit que f présente un maximum local enalorsque :∃α >0,∀x∈Rⁿ,

||x−a||¶α=⇒f(x)¶f(a)

„On dit que f présente un extremum local enalorsque f présente un maximum local ou un minimum local ena.

„On dit que f présente un minimum global enalorsque :∀x∈Rⁿ, f(x)¾ f(a)

„On dit que f présente un maximum global enalorsque :∀x∈Rⁿ, f(x)¶ f(a)

„On dit que f présente un extremum global en alorsque f présente un maximum global ou un minimum global ena.

2.3.2 Condition nécessaire du premier ordre. Point critique.

Théorème

Si une fonction f de classeC¹surRⁿadmet un extremum local en un point x, alors∇(f)(x) =0.

Remarque

On rappelle que les points où le gradient s’annule sont appelés points critiques.

Toutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles.

Remarque

Si une fonction f de classeC¹sur unRⁿn’admet pas de point critique surRⁿalors f n’admet pas d’extremum surRⁿ.

Définition

Soit f une fonction de classeC¹surRⁿeta∈Rⁿ. On dit queaest un point selle (ou point col) siaest un point critique de f ne réalisant pas un extremum local.

Exercice 8 Soit f l’application deR²dansRdéfinie par :

∀(x,y)∈R² , f(x,y) =x²+x y+y²

1. Montrer que f admet un minimum global surR². Déterminer les points deR²réalisant ce minimum.

2. Montrer que f n’admet pas de maximum global surR². Exercice 9 Soit f l’application deR³dansRdéfinie par :

∀(x,y,z)∈R³ , f(x,y,z) =e^x2+y2+z2 1. Montrer que f est de classe C¹surR³.

2. Déterminer l’ensemble des points critiques de f .

3. Étudier si la fonction f possède un extremum (local ou global) en ces points.