LIMITES DE FONCTIONS.

Limites de fonctions Term spé cours 1/7

LIMITES DE FONCTIONS.

Dans tout le chapitre, sauf précision contraire, f et g désigne des fonctions définies sur une partie de . I. Limite en + et  .

1. Limite finie en + ou .

Définition : Soit L un réel. On dit que f (x) tend vers L lorsque x tend vers + (ou que L est la limite de f en + ) quand tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note lim

x

f (x ) L. Autrement dit, pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un réel m tel que : si x > m, alors f (x) ϵ I.

On définit de même lim

x

f( x) L.

Lorsque lim

x

f (x ) L (respectivement lim

x

f (x ) L), on dit que la droite d équation y L est ...

... (respectivement en ).

Graphiquement :

2. Limite infinie en + ou . Définitions :

On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + quand tout intervalle de type ]A ; + [ où A est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note lim

x

f(x) = + . Autrement dit, pour tout réel A, il existe un réel M tel que : si x > M, f (x ) A.

On dit que f(x) tend vers  lorsque x tend vers + quand tout intervalle de type ] ; B[ où B est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note lim

x

f(x)=  . Autrement dit, pour tout réel B, il existe un réel M tel que : si x > M, f (x) < B.

On définit de même lim

x

f( x) = + et lim

x

f( x) = .

Graphiquement :

II. Limite en a (a réel).

1. Limite infinie en un réel.

Définitions : Soit f une fonction et a un réel, borne de l ensemble de définition de f mais n appartenant pas à cet ensemble de définition.

On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers a quand tout intervalle de type ]A ; + [ où A est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. On note lim

x a

f (x) = + .

On dit que f(x) tend vers lorsque x tend vers a quand tout intervalle de type ] ; B[ où B est un réel contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a. On note lim

x a

f (x) = . Lorsque lim

x a

f(x) = + ou lim

x a

f(x) = , on dit que la droite d équation x=a est ...

...

Remarque : en pratique, on est parfois amené à étudier séparément les limites de f pour x a et pour x a. On parle alors de limite à droite en a, notée lim

x a

f( x ) et de limite à droite en a, notée lim

x a

f(x ).

Graphiquement :

III. Calculs de limites.

1. Limites de référence (à connaître).

lim

x

1

x lim

x

1

x ………… lim

x 0

1

x =………… lim

x 0

1 x lim

x

e ^x (demonstration plus loin) lim

x

e ^x ………

Limites de fonctions Term spé cours 3/7

Pour tout entier n 0 : lim

x

x ⁿ lim

x

x ⁿ lim

x

1

x ⁿ lim

x

1 x ⁿ

lim

x 0

1

x ⁿ lim

x 0

1 x ⁿ

Dans la suite, a désigne soit un réel, soit + , soit  . L et L’ désignent des réels et f et g des fonctions.

Les règles sont les mêmes que pour les limites de suites.

2. Limite d’une somme.

si lim

x a

f(x ) L L ou  L ou  

et li m

x a

g( x) L’   

alors lim

x a

(f g )(x ) L L’   F I

3. Limite d’un produit.

si li m

x a

f(x ) = L L > 0 ou

 L < 0 ou L > 0 ou

 L < 0 ou 0

et li m

x a

g (x) = L’     + ou 

alors lim

x a

(f  g)(x) = L  L’     F I

4. Limite d’un quotient.

a. Si la limite de g n’est pas nulle.

si li m

x a

f( x) = L L     ou 

et li m

x a

g (x ) = L’  0  ou



L 0 L 0 L 0 L 0 ou 

alors lim x a  

  f

g (x ) = L L

0 +   + F I

b. Si la limite de g est nulle.

lim

x a

g( x) 0 signifie que la limite de g en a est nulle et que pour x proche de a, g( x) est positif.

si li m

x a

f(x ) = L >0 ou

 L <0 ou  L >0 ou  L <0 ou  0 et li m

x a

g (x) = 0 0 0 0 0

alors lim x a  

  f

g ( x) =    F I

LES CAS DE F I SERONT TRANSFORMES POUR POUVOIR DETERMINER LA LIMITE.

Déterminer les limites en et de ( 3 x ⁴ 2 x ³ x ² 1 . )

Déterminer lim

x

2 x ³ 3 x ² x x ² x 1

Déterminer lim

x 2

1 (x 2) ²

Déterminer lim

x 2

x 3

4 x ²

Limites de fonctions Term spé cours 5/7

5. Limite d une fonction composée.

Si f et g sont des fonctions , la fonction x f (g (x )) est notée f ◦ g et est appelée composée de g par f.

Exemple : f et g sont les fonctions définies par f( x) 1

x et g( x) x 2. Déterminer f◦ g (x ) et g◦ f (x ).

Théorème (admis) : Soit a, b et c trois réels ou + ou . Soit f et g deux fonctions.

Si lim

x a

g (x ) b et lim

X b

f (x ) c alors lim

x a

f(g ( x)) c

Exemple : Déterminer lim

x

e ^{3x 4}

Remarque : On fait apparaître les limites dans le tableau de variation de la fonction.

Application : construire le tableau de variation complet de la fonction f définie par f( x) 2 x 1 .

6. Théorèmes de comparaison.

Théorème (admis) : a et L représentent deux réels ou + ou et f, g et h sont trois fonctions.

Si, pour tout réel x proche de a : g( x) f( x) h (x) et lim

x a

g( x) lim

x a

h( x) L ; alors lim

x a

f( x) L.

Si, pour tout réel x proche de a : g( x) f( x) et lim

x a

g( x) + ; alors lim

x a

f( x) + . Si, pour tout réel x proche de a : f( x) h( x) et lim

x a

h (x ) ; alors lim

x a

f( x) .

IV. Croissance comparée de e ^x et x ⁿ .

Propriété : lim

x

e ^x et lim

x

e ^x 0.

Démonstration (méthode à retenir) :

Pour prouver la propriété, on va utiliser le lemme suivant : Lemme : Pour tout x de , e ^x 1 x.

Démonstration (méthode à retenir) :

On peut alors prouver la propriété :

Propriétés :

Démonstration du premier point : voir fiche à part (démonstration du théorème de croissance

comparée)

Limites de fonctions Term spé cours 7/7

Exemples : Déterminer les limites suivantes : lim

x

e ^x x lim

x

e ^2x x² e ^x lim

x

e ^x x lim

x

(x 3)e ^x lim

x

e ^2x x

e ^4x e ^x x ⁸ lim

x

e ^{3x 4} 6x 8

Exercices :

1. f est la fonction définie sur par f (x ) e ^{2x 5}

2x . Construire le tableau de variation complet de la fonction f.

2. f est la fonction définie par f (x ) x ³ 5x ² 7x 4 x ² 2x 1 .

a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b. A la calculatrice, tracer la courbe de f et la droite d équation y x 3. Que peut-on conjecturer ?

c. Déterminer lim

x

f (x ) (x 3) et interpréter.

d. Étudier la position relative de la courbe de f et de la droite .