Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 01 - Limites de fonctions
I. Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]…;+õ[.
On dit que f(x) tend vers +õ lorsque x tend vers +õ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A;+õ[
(
A☻Ë)
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.On note alors lim
x↔+õf(x)=+õ.
On dit que f(x) tend vers –õ lorsque x tend vers +õ si et seulement si tout intervalle de la forme ]-õ;A[
(
A☻Ë)
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note alors limx↔+õf(x)=-õ On définit de même la limite de f(x) lorsque x vers –õ.
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]…;b[.
On dit que f(x) tend vers +õ (resp –õ) lorsque x tend vers b par valeurs inférieures si et seulement si tout intervalle de la forme ]A;+õ[ (resp ]-õ;A[)
(
A☻Ë)
contient toutes les valeurs de f(x) lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de b en lui restant inférieures. On note alors limx↔b x<b
f(x)=+õ. On parle aussi de limite de f(x) à gauche de b.
On définit de même la limite de f(x) à droite de b.
Remarque : lorsque lim
xx−b x<b
f(x)= lim
x↔b x>b
f(x)=+õ (resp –õ) on dit que f(x) tend vers +õ (resp –õ) lorsque x tend vers b et on
note lim
x↔bf(x)=+õ (resp –õ).
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme …;+õ[.
On dit que f(x) tend vers un réel L lorsque x tend vers +õ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On note alors lim
x↔+õf(x)=L.
On définit de même la limite de f(x) lorsque x tend vers –õ.
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme ]a;b[∟]b;c[.
On dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers b si et seulement si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x dans ]a;b[∟]b;c[ et assez proche de b.
II. Règles opératoires
Les tableaux ci-dessous rassemblent les théorèmes admis d’opérations relatifs aux limites de fonctions.
α désigne dans toute cette partie soit un nombre, soit + õ ou soit -õ. L et L′ sont des nombres.
Si lim
x↔αf(x)= L L L +õ
–õ
+õet lim
x↔αg
(x)=
L′ +õ–
õ +õ–õ –
õsomme
Alors lim (f+g) (x)=
L+L′ +õ–
õ +õ–õ
F.I.
F.I. signifie que la forme est indéterminée. Différentes méthodes permettent de lever ces indéterminations (voir VI. Méthodes pour lever les indéterminations)
* La règle des signes permet de conclure si la limite est +õ ou -õ
III. Asymptotes
Soient a, b et L trois réels tels que aý0. Soit une fonction f et sa courbe représentative C
f.
• Lorsque lim
x↔+õf(x)=L alors la droite d’équation y=L est asymptote horizontale à Cf au voisinage de +õ.
Lorsque lim
x↔-õf(x)=L alors la droite d’équation y=L est asymptote horizontale à Cf au voisinage de –õ.
Lorsque lim
x↔+õf(x)=L et lim
x↔-õf(x)=L alors on dit que la droite d’équation y=L est asymptote horizontale à Cf.
• Lorsque lim
x↔b x<b
f(x)=±õ (ou/et) lim
x↔b x>b
f(x)=±õ alors la droite d’équation x=b est asymptote verticale à C
f.
• Lorsque lim
x↔+õ[f(x)−(a x+b)]=0 (resp lim
x↔-õ[f(x)−(a x+b)]=0), on dit que la droite D d’équation y=a x+b est asymptote oblique Cf au voisinage de +õ (resp –õ).
Pour étudier la position relative de C
f et de la droite D, on étudie le signe de f(x)−(a x+b).
* Cf est au dessus de D sur I si et seulement si ┐x☻I, f(x)−(a x+b)>0.
* Cf est en dessous de D sur I si et seulement si ┐x☻I, f(x)−(a x+b)<0.
IV. Limite d’une fonction composée
Soient deux fonctions g et h définies respectivement sur D
g et D
h alors la fonction f=g o h définie par f(x)=(go h)(x)=g[h(x)] admet pour ensemble de définition D
f=
{
x☻Dh/h(x)☻Dg}
Théorème admis : α, β et γ désignent soit un réel, soit +õ, soit –õ.
Soient f, g et h trois fonctions tels que f=g o h (càd telles que ┐x☻Df=Dgoh, f(x)=g[h(x)]) alors si lim
x↔αh(x)=β et si lim g(x)=γ alors lim f(x)= lim g[h(x)]= l i m g(X)= γ
Si lim
x↔αf(x
)=
L L (Lý0) 0
+õ ou – õet lim
x↔αg
(x)=
L′+õ ou –õ
+õ ou –õ +õ ou – õproduit
Alors lim
x↔α
(f×g)(
x)=
L×L′ ±õ* F.I.±õ*
Si lim
x↔αf(x
)=
L (Lý0)
0 et f(x)>0
0 et f(x) < 0 ±õInverse
Alors lim
x↔α
1
f(x)=
1
L
+õ –õ 0
Si lim
x↔αf(x)= L L
0
+õ ou –õ +õ ou – õet lim
x↔αg
(x)=
L′(ý0) +õ ou –õ
0 +õ ou –õ L′(ý0)Quotient
Alors lim
x↔α
(f×g)(
x)= LL′ 0 F.I. F.I.
±
õ*Exemp le :
Détermino ns la limite en +õ d e f(x)=co s
1 x2 . lim
x↔+õ 1
x2=0 donc lim
x↔+õf(x)= lim
X↔0cos(X)=cos(0)=1
V. Le théorème des gendarmes
Théorème (démonstration en annexe au programme) :
• Soit α un réel et trois fonctions f, g et h telles que pour tout x appartenant à ]α;+õ[, g(x)Âf(x)Âh(x).
Si lim
x↔+õg(x)= lim
x↔+õh(x)=L (avec L un reel) alors lim
x↔+õf(x)=L
• Soit α un réel et trois fonctions f, g et h telles que pour tout x appartenant à ]-õ;α[, g(x)Âf(x)Âh(x).
Si lim
x↔-õg(x)= lim
x↔-õh(x)=L (avec L un reel) alors lim
x↔-õf(x)=L
• Soit α un réel et trois fonctions f, g et h telles que pour tout intervalle ouvert contenant α ou de borne α, g(x)Âf(x)Âh(x). Si lim
x↔αg(x)= lim
x↔αh(x)=L alors lim
x↔αf(x)=L
Extensions du théorème des gendarmes (Propriétés admises) :
• Soit α un réel et deux fonctions f et g telles que pour tout x appartenant à ]α;+õ[ , g(x)Âf(x) . Si lim
x↔+õg(x)=+õ alors lim
x↔+õf(x)=+õ
• Soit α un réel et deux fonctions f et g telles que pour tout x appartenant à ]α;+õ[ , f(x)Âg(x) . Si lim
x↔+õg(x)=-õ alors lim
x↔+õf(x)=-õ
• Théorèmes équivalents lorsque x tend vers –õ ou vers un réel α.
VI. Lever des indéterminations
Pour déterminer les limites de fonctions, on utilise les théorèmes de comparaison et les règles opératoires. Lorsque ces propriétés ne permettent pas de conclure, on peut utiliser les méthodes ci-dessous.
1. Cas d’une fonction polynomiale.
A l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Cette méthode est utilisée uniquement dans la recherche de limite lorsque x tend vers +õ ou vers –õ.
Exemple : Déterminer la limite de x4−x3+x2+2 lorsque x tend vers +õ.
A l’infini, la limité d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim
x↔+õx4−x3+x2+2= lim
x↔+õx4=+õ
2. Cas d’une fonction rationnelle.
A l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
Cette méthode est utilisée uniquement dans la recherche de limite lorsque x tend vers +õ ou vers –õ.
Cf Cg
Ch 0 1 1
l i m
x↔+gõ(x)=0 et lim x↔0h(x)=0 donc lim
x↔+õf(x)=0
Exemple : Déterminer la limite lorsque x tend vers –õ de x3−3x x2−4
A l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient de ses termes de plus haut degré donc lim
x↔-õ x3−3x x2−4 = lim
x↔-õ x3 x2= lim
x↔-õx=-õ
3. Utilisation du terme prépondérant
• On appelle terme prépondérant le terme d’une expression qui "tend le plus vite" vers +õ ou vers –õ.
• La méthode consiste à factoriser l’expression (ou numérateur et dénominateur dans le cas d’un quotient) par le terme prépondérant, puis à étudier les limites de chaque facteur puis de conclure si les règles opératoires le permettent.
• Remarques : Cette méthode ne s’utilise que pour les recherches de limites lorsque x tend vers +õ ou vers –õ et ne permet pas toujours de conclure.
Exemple : déterminons la limite lorsque x tend vers +õ de x2−3x x Les règles opératoires ne permettent pas de conclure (forme (+õ)+(-õ)) Le terme prépondérant de cette expression est x2 donc
┐x>0, x2−3x x=x2
1−3x x x2 =x2
1− 3x x
x× x× x =x2
1− 3 x . Or, lim
x↔+õx2=+õ et lim
x↔+õ1− 3
x
=1 donc lim
x↔+õx2−3x x=+õ
4. Utilisation de l’expression conjuguée
• Les expressions a+ b et a− b sont appelées expressions conjuguées.
• On peut envisager d’utiliser cette méthode lorsque les autres méthodes ne permettent pas de conclure et lorsque des radicaux composent l’expression.
• On repère dans la formule une expression du type a+ b ou a− b dont la limite est indéterminée, on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée, on simplifie notamment en utilisant l’identité remarquable (u+v)(u−v)=u2−v2. On tente enfin de conclure si les règles opératoires le permettent.
Exemple : Déterminons la limite lorsque x tend vers +õ de x+1− x Les règles opératoires ne permettent pas de conclure (forme (+õ)+(-õ)).
La méthode de l’utilisation du terme prépondérant ne permet pas de conclure (on aboutit à une forme du type (õ×0)) On utilise donc la méthode de l’expression conjuguée.
┐xÃ0, x+1− x=
[ (
x+1− x) (
x+1+ x) ]
x+1+ x
= x+1−x
x+1+ x
= 1
x+1+ x Or, lim
x↔+õ x= lim
x↔+õ x+1=+õ donc lim
x↔+õ x+1+ x=+õ donc lim
x↔+õ x+1− x= lim
x↔+õ 1
x+1+ x
=0
VII. Exercices
Exercice 1
Dans chacun des cas, étudier à l’aide des règles opératoires la limite de la fonction f en l’endroit indiqué (à gauche et à droite si nécessaire) .
1- f(x)=x2+ x−5 en +õ 2- f(x)=2x2−x−1
x−1 en 1.
3- f(x)= x+1
x−1 en +õ et en 1
4- f(x)=(2x−3)
(
5− x)
en +õ et en 3 2.5- f(x)= x−9 3− x
en 9.
6- f(x)= -x3+x2+x en –õ.
7- f(x)= x+3
x−5 à dro ite d e 5 8- f(x)=co s
πx+1
x+2 en +õ Exercice 2
Montrer que pour tout réel x différent de 1, x3
(x−1)2=x+2+ 3
x−1+ 1
(x−1)2.
En déduire que la courbe représentative Cf de la fonction f définie sur Ë\{1} par f(x)= x3
(x−1)2 admet pour asymptote oblique une droite D dont on précisera une équation cartésienne. Etudier la position relative de D par rapport à Cf.
Exercice 3
Montrer que la droite d’équation y=2x est asymptote à la courbe d’équation y=x+ x2+1 au voisinage de +õ.
Exercice 4
Soit la fonction f définie par f(x)= x2+2x+4 et soit C
f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les limites de f en +õ et en –õ.
3. Montrer que la droite ∆ d’équation y=x+1 est asymptote oblique à C
f au voisinage de +õ et étudier la position relative de Cf par rapport à ∆ sur [0;+õ[.
Exercice 5
Soit f et g les fonctions définies par f(x)=cos(x)
x+1 , et g(x)=x2−5 sin(x)
Déterminer les limites de f et de g en +õ et en –õ (après avoir vérifié que les règles opératoires ne permettent pas de conclure, on utilisera le théorème des gendarmes ou une de ses extensions).
Exercice 6
On souhaite déterminer la limite quand x tend vers +õ de x2+sin(x).
1. Avec la calculatrice, émettre une conjecture (on pourra choisir un pas de 1000, une valeur initiale égale à 100 et une valeur finale égale à 50000).
2. Vérifier si cette conjecture est exacte à l’aide d’un calcul (on pourra utiliser un théorème de comparaison)
Exercice 7
On considère la fonction f définie par f(x)=
(
50+x20 2)
−2500 x201. A l’aide du tableur de la calculatrice, conjecturer la limite en 0 de f.
2. En développant
(
50+x20 2)
, montrer que ┐xý0, f(x)=100+x20. Calculer alors la limite de f en 0.Conclusion : on doit toujours garder un regard critique lorsqu’on utilise une calculatrice.
