FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITE
I Limites
1) Limites à l'infini a) limite finie
Définition : l est un nombre réel. Dire qu'une fonction f a pour limite l en + ¥ signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f(x) prises pour tous les x "assez grand". On note f(x) = l
Définition : ε > 0, A R , tel que x > A implique l- ε < f(x) < l + ε Exemple: = 0, = 0, = 0.
Remarque:Lorsqu'une fonction admet une limite finie l en l'infini alors la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe Cf.
b) limite infinie
Définition: Dire qu'une fonction f a pour limite + ¥ en + ¥ signifie que tout intervalle ouvert ] M ; + ¥ [ contient toutes les valeurs de f(x) prises pour tous les x " assez grands".
On note f(x) = + ¥.
Définition: M R, A R , tel que x > A implique f(x) > M
Remarque : On peut définir de la même manière f(x) = - ¥ et les limites en - ¥ Exemples: x4 = + ¥ x2 = + ¥ x3 = -¥
2) Limites en un réel a
Dans cette partie du cours on considère une fonction f définie sur Df où a Df ou alors, a est une borne de Df.
Limite infinie en a
Définition: Dire qu'une fonction f a pour limite + ¥ en a signifie que tout intervalle ouvert ] M ; + ¥ [ contient toutes les valeurs de f(x) prises pour les x proches de a ( c. à d. ] a –ε ; a + ε [ )
On note lim;\s\do11(x ( a f(x) = + ¥.
Définition : M R, ε > 0 , tel que pour x – a < ε on a f(x) > M
Remarque:Lorsqu'une fonction admet une limite infinie en a, alors la droite d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf.
Limite finie en a
Définition: Dire qu'un réel l est limite d'une fonction f en a signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f(x) prises pour tous les x proches de a ( c à d ] a –ε ; a + ε [ ) dans Df. On note lim;\s\do11(x ( a f(x) = l
3) Opération sur les limites ( rappels chap. 7 de1ière )
Exercices: 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 17 p 44-45 4) Théorèmes sur les limites
Théorème des gendarmes: f, g et h sont des fonctions et l est un réel.
(chap10 1ière) Si g(x) = l et h(x) = l et si pour x assez grand g(x)≤ f(x) ≤ h(x), alors f(x) = l.
ROC Démon.:
Comparaison à l'infini: Si g(x) = + ¥ et si pour x assez grand f(x) g(x) alors f(x) = + ¥ Si g(x) = - ¥ et si pour x assez grand f(x) ≤ g(x) alors f(x) = - ¥ Exercices: 18, 19, 21, 24 p 45
5) Limites de fonctions composée
Théorème: a, b et c sont chacun un réel ou + ¥ ou - ¥.
Si lim;\s\do11(x ( a f(x) = b et lim;\s\do11(x ( bg(x) = c, alors lim;\s\do11(x ( ag◦f (x) = c On peut illustrer ce théorème par le schéma suivant:
f
x f(x)
g
y g(y) = g (f(x)) = g◦f (x) = c
a b c
6) Asymptote oblique (chap 7 1ière )
Définition: Si f(x) = ax +b + (x), avec (x) = 0, on dit que la droite d'équation y = ax + b est asymptote oblique à Cf en + ¥. La définition est analogue en – ¥
Exercices: 27, 29, 34 p46 62, 65 p49 II
Continuité
1) fonction continue en un point
Définitions: F est une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
Dire que f est continue en a signifie que f admet une limite en a égale à f(a).
Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout point de I.
Attention: Une fonction ne peut pas être continue en un point qui n'appartient pas au domaine de définition, cela n'a aucun sens.
2) Dérivabilité
Théorème: Si f est dérivable en a élément de I, alors f est continue en a.
Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.
ROC Démon.:
Remarque: La réciproque est fausse, la fonction racine carrée est continue en 0 mais elle n'est pas dérivable en 0 ( rappel: f'(a) = lim;\s\do8(h ( 0 )
Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont dérivables sur R donc elles sont continue sur R.
Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition Df, donc elles sont continues sur Df.
Toutes les fonctions construites par somme, produit, quotient ou par composition des fonctions précédentes sont continues sur leur domaine de définition.
Exemple: g(x) = x² dérivable sur R donc continue sur R
f(x) = dérivable sur Df = R – {1;-1} donc continue sur Df.
Les fonctions h = g + f , j = gf et k = g◦f sont dérivables sur leurs domaines de définitions respectifs. Donner le domaine de définition de la fonction k.
Exercices: 91 p52 III
Fonctions continues et résolution d'équations 1) Théorème des valeurs intermédiaires ( chap. 5 1ière )
Théorème: Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b]. Alors, pour tout réel y compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b, tel que f(c) =y.
( Autrement dit : l'équation f(x) = c admet au moins une solution dans [a;b] )
Nota: la démonstration se fera plus tard à l'aide des suites adjacentes.
Corollaire*: Si f est une fonction continue sur [a; b] et si f(a).f(b) < 0 alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b] .
* C'est un théorème qui découle immédiatement d'un autre théorème
Démon.:
2) Théorème de bijection
Théorème: Soit f une fonction continue strictement monotone sur I = [a; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une solution unique dans [a; b].
( On dit que f est une bijection de I sur f ( I ).) ROC Démon. :
Corollaire: Si f est une fonction continue strictement monotone sur [a; b] et si f(a).f(b) < 0 alors l'équation f(x) = 0…….
3) Intervalle image d'une fonction continue strictement monotone
L'image d'un intervalle I par une fonction f continue et strictement monotone est un intervalle J.
On note f(I) = J ou encore Im f = J
Im f ou f(I) est l'intervalle:
Si I = f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I [a;b]
]a;b]
[a;b[
]a;b[
Exercices: 36, 37, 39 p 46
4) Notion de fonction réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et Im f = J alors:
Pour tout xI, il existe un unique f(x)J
Pour tout yJ, il existe un unique xI. a f A
Lorsque ces 2 conditions sont vérifiées b B
on dit que f est une bijection de I sur J. I c C J
Autrement dit: chaque élément de l'ensemble de départ a exactement une image et chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent.
Dans ce cas, comme chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent on peut définir une nouvelle fonction g sur J tel que:
si y J alors g(y) = x et de plus f(x) = y, la fonction g est la fonction réciproque de la fonction f . On note g = f-1 ( se lit f moins 1)
f
x f(x)
׀׀ ׀׀
g(y) y g
Propriétés:
g(f(x)) = g(y) =x ou encore f-1(f(x)) = x
f ( g(y)) = f(x) = y ou encore f ( f-1(y) = y
Soit Cf la courbe représentative de la fonction f et Cg la courbe représentative de la fonction réciproque g, les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Théorème (admis): Si f est une définie sur un intervalle I et Im f = J et si g est une fonction définie sur J à valeurs dans I, telles que pour tout x de I, tout y de J, f(x) = y g(y) = x
alors f et g sont des fonctions réciproques.
Exercices: 40, 41, 42, 43 p 47 et 93 p 52
