DS 2 : Limites de suites et fonctions.

TS 1 Jeudi 7 novembre.

DS 2 : Limites de suites et fonctions.

Question de cours : (2,5 points)

On suppose connue les résultats suivants :

• exp⁰(x)=exp(x)

• ∀x∈R⁺, exp(x)≥1

• exp(0)=1

On accepte la notation exp(x)=e^x. L’objectif : Démontrer lim

n→+∞Sn.

Soit la fonctionf définie surR⁺parf(x)=e^x−x² 2. 1. Déterminer les expressions def⁰(x) etf⁰⁰(x).

2. Déterminer le signe def⁰⁰(x) puis les variations def⁰et son signe surR⁺. 3. Déterminer les variations def et son signe surR⁺.

4. En déduiree^x x ≥x

2 pour toutx≥0.

5. En déduire lim

x→+∞

e^x x .

Exercice 1.

( 3 points)

On considère la suite (S_n) définie parS_n=1+0,6+0,6²+...+0,6ⁿpour tout entier naturelnnon nul. L’expression deS_nen fonction de nest alorsS_n=1−0,6ⁿ⁺¹

1−0,6 . 1. CalculerS4.

2. Déterminer les valeurs deaetbde sorte que :Sn=a+b×0,6ⁿ. 3. Déterminer lim

n→+∞S_n.

Exercice 2.

(4,5 points) 1. lim

x→−∞

2x+sinx

x . Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonctionh(x)=2x+sinx

x .

2. lim x→1 x<1

x−3

x−1. Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonctionj(x)=x−3 x−1.

3. lim

x→^π₂

cos(2x)+1 x−π

2

. Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonctiont(x)=cos(2x) au point d’abscisseπ 2.

Lycée Paul Rey 1

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Exercice 3.

(3,5 points) On définie la suite (un) par :

½ u₀∈R un+1=f(un) La fonctionf est définie surRpar :f(x)=0,5x+3

Partie A :

Dans cette partie aucune démonstration n’est demandée.

En vous appuyant sur le graphique ci-dessous (représentant la fonctionf et la droite d’équationy=x) discuter du comportement de la suiteun en fonction des valeurs deu0. Vous ferez apparaitre les traits de construction justifiant vosconjecturessur le graphique ci-dessous :

Partie B :

Dans cette partieu0= −5.

On définie la suite (v_n) parv_n=u_n−6 pour toutnentier naturel.

1. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont vous donnerez le premier terme et la raison.

2. En déduire l’expression dev_npuisu_nen fonction den.

3. Déterminer lim

n→+∞un?

4. Écrire un petit programme permettant de déterminer la première valeur dentel que|6−u_n| <0,01.

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Exercice 4.

(6,5 points)La courbe (C) ci-dessous représente dans un repère orthogonormal (O,~i,~j), une fonction f définie et déri- vable surR. Le point A d’abscisse 3 et l’origineOsont sur la courbe (C).

Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A et O, la tangente au point A étant horizontale. On notef⁰la fonction dérivée def.

Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A

1. Par lecture graphique, déterminer en justifiant succinctement : a. f⁰(3) ;

b. f(0) etf⁰(0).

2. La fonctionf est définie surRpar

f(x)=a+(x+b)e^−0,5x oùaetbsont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

a. Calculerf⁰(x) pour tout réelxdeR.

b. Á l’aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombresaetbvérifient le système suivant :

½ a+b = 0 1−0,5b = 1,5 c. Déterminer alors les valeurs des nombresaetb.

PARTIE B

On admet que la fonctionf est définie surRparf(x)=1+(x−1)e^−0,5x. 1. Déterminer les limites def en+∞et−∞.

2. En déduire que (C) admet une asymptote et en donner une équation.

3. Justifier que, pour tout réelxdeR,f⁰(x)=3−x

2 e^−0,5xet en déduire le tableau de variation def surR. 4. Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x)=6

5surR, puis donner une valeur approchée à 0,01 prés par défaut à l’aide de la calculatrice de la plus petite de ces solutions.

5. Discuter du nombre de solutions de l’équationf(x)=koùkest un réel.

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