Questions ROC sur les définitions sur les limites de suites et de fonctions
Montrer que si une suite est convergente, alors sa limite est unique
Soit (un) une suite convergente , supposons qu'elle admette 2 limites distinctes L < L'
La limite de (un) est L , donc l'intervalle ouvert ]−∞;L + L'
2 [ contenant L , contient tous les termes un à partir d'un certain rang N .
La limite de (un) est L' , donc l'intervalle ouvert ] L + L'
2 ;+∞[ contenant L' , contient tous les termes un à partir d'un certain rang N' .
A partir du rang max(N,N') , tous les un appartient à la fois à ]−∞;L + L'
2 [ et à ]L + L' 2 ;+∞[
ce qui est impossible car ces deux intervalles sont disjoints.
L'hypothèse de départ est donc fausse
Montrer que si lim un = L , alors lim un+1 = L
Soit I un intervalle ouvert contenant L lim un = L , donc pour n ≥ N , un ∈ I donc pour n ≥ N − 1 , un+1 ∈ I
donc tout intervalle ouvert contenant L , contient tous les termes de la suites (un+1) à partir d'un certain rang , donc lim un+1 = L
Montrer que si lim un = +∞∞∞∞ , alors la suite (un) n'est pas majorée Soit M un réel quelconque
lim un = +∞ , donc l'intervalle ]M;+∞[ contient tous les un à partir d'un certain rang donc aucun réel M ne peut majorer la suite (un)
On pourrait adapter ces démonstration pour les limites de fonctions en x0 , ou en ∞∞∞∞
