Questions ROC sur les suites arithmétiques et géométriques
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r Montrer que pour tous naturels n et p , un = up + (n −−−− p)r
1) On montre par récurrence que pour tout naturel n , un = u0 + nr P(n) = "un = u0 + nr"
P(0) = "u0 = u0 + 0r" est vraie
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier n positif un = u0 + nr
un+1 = un + r = u0 + nr + r = u0 + (n+1)r Alors la propriété est vraie pour l'entier n + 1
On a montré par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier n 2) On applique la propriété précédente à n et p
up = u0 + pr un = u0 + nr
Par différence , un − up = nr − pr d'où le résultat
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q Montrer que pour tous naturels n et p , un = up×××× qn−−−−p
1) On montre par récurrence que pour tout naturel n , un = u0 × qn P(n) = "un = u0 × qn"
P(0) = "u0 = u0 × q0" est vraie
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier n positif un = u0 × qn
un+1 = un × q = u0 × qn × q = u0 × qn+1 Alors la propriété est vraie pour l'entier n + 1
On a montré par récurrence que la propriété est vraie pour tout entier n 2) On applique la propriété précédente à n et p
up = u0 × qp un = u0 × qn Par quotient , un
up
= qn−p d'où le résultat
Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Prérequis : un = u0 + nr Montrer que u0 + u1 + u2 + ……. + un = (n + 1)u0 + un
2
S = u0 + u1 + u2 + ……. + uk + ……. + un (n + 1) termes S = un + un−1 + un−2 + …… + un−k + ……. + u0
2S = (u0 + un) + (u1 + un−1) + ….. + (uk + un−k) + ……. (un + u0) u1 + un−1 = u0 + r + u0 + (n − 1)r = u0 + u0 + nr = u0 + un
………..
uk + un−k = u0 + kr + u0 + (n − k)r = u0 + u0 + nr = u0 + un
donc 2S = (n + 1)(u0 + un) d'où le résultat
Soit (un) une suite géométrique de raison q . Prérequis : un = u0×××× qn Montrer que u0 + u1 + …… + un = un+1−−−− u0
q −−−− 1 . S = u0 + u1 + u2 + …….. + un
S = u0 + qu0 + q²u0 + ….. + qnu0 = u0(1 + q + q² + …… qn) S = u0(1 + q + q² + …… qn)
qS = u0(q + q² + + qn + qn+1) donc qS − S = u0(qn+1 − 1)
donc S(q − 1) = u0(qn+1 − 1) = un+1 − u0
et S = un+1 − u0
q − 1
