Suites arithmétiques et géométriques www.mathGM.fr
Les savoir-faire Suites arithmétiques Suites géométriques
Suites arithmétiques et géométriques
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Lycée Louise Michel (Gisors)
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Les savoir-faire
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Les savoir-faire
130. Reconnaître une suite arithmétique.
131. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite arithmétique.
132. Calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.
133. Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.
134. Reconnaître une suite géométrique.
135. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite géométrique.
136. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique.
137. Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
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Définition
Suite arithmétique
•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.
•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln,
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Définition
Suite arithmétique
•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.
•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r
Expression explicite
Siuest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,
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Définition
Suite arithmétique
•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.
•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r
Expression explicite
Siuest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,
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Définition
Suite arithmétique
•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.
•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r
Expression explicite
Siuest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,
un=u0+n×r
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Définition
Suite arithmétique
•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.
•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r
Expression explicite
Siuest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,
un=u0+n×r
u1
u0 u2 u3... u
n un+1
+nr
+r +r +r +r
u0+ 2r u0+ 3r u0+nr u0+r
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Exemples
Exemples
1.Déterminer l’expression générale de la suite arithmétique définie par u1= 5etun+1=un+ 3. Vidéo
2.La suiteudéfinie parun= 7−9nest-elle arithmétique ? Vidéo 3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite arithmétiqueu telle que :u5= 7etu9= 19. Vidéo
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Somme
Somme des entiers de 1 à n
Soitnun entier naturel non nul. Alors la somme desn premiers termes non nuls est :
1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2
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Somme
Somme des entiers de 1 à n
Soitnun entier naturel non nul. Alors la somme desn premiers termes non nuls est :
1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2
Somme des termes d’une suite arithmétique
La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :
S=(nombre de termes)×premier terme + dernier terme 2
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Somme
Somme des entiers de 1 à n
Soitnun entier naturel non nul. Alors la somme desn premiers termes non nuls est :
1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2
Somme des termes d’une suite arithmétique
La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :
S=(nombre de termes)×premier terme + dernier terme 2
Exemples
1.Calculer la sommeS= 15 + 16 + 17 +...+ 88. Vidéo 2.Calculer la sommeS= 33 + 36 + 39 +...+ 267. Vidéo
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Définition
Suite géométrique
•Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par un même nombreqappelé raison.
•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln,
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Définition
Suite géométrique
•Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par un même nombreqappelé raison.
•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln, vn+1 =q×vn
Expression explicite
Siuest une suite géométrique de raisonq et de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,
v1
v0 v2 v3...
vn vn+1
×qn
×q ×q ×q ×q
v0×q2 v0×q3 v0×qn v0×q
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Suite géométrique
•Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par un même nombreqappelé raison.
•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln, vn+1 =q×vn
Expression explicite
Siuest une suite géométrique de raisonq et de premier termeu0, alors pour tout entier natureln, vn=v0×qn
v1
v0 v2 v3...
vn vn+1
×qn
×q ×q ×q ×q
v0×q2 v0×q3 v0×qn v0×q
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Exemples
Exemples
1.Déterminer l’expression générale de la suite géométrique définie par u1= 5etun+1= 2un. Vidéo
2.La suiteudéfinie parun= 3×5n+1est-elle géométrique ? Vidéo 3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite géométriqueu telle que :u7= 16etu4= 2. Vidéo
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Somme
Somme des puissances successives
Pour tout réelqnon nul et différent de 1, pour tout entier n>1:
1 +q+q2+. . . .+qn=
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Somme
Somme des puissances successives
Pour tout réelqnon nul et différent de 1, pour tout entier n>1:
1 +q+q2+. . . .+qn= 1−qn+1 1−q
Somme des termes d’une suite géométrique
Soitqun nombre réel avecq6= 0etq6= 1. La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonqest telle que :
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Somme
Somme des puissances successives
Pour tout réelqnon nul et différent de 1, pour tout entier n>1:
1 +q+q2+. . . .+qn= 1−qn+1 1−q
Somme des termes d’une suite géométrique
Soitqun nombre réel avecq6= 0etq6= 1. La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonqest telle que :
S=(1er terme)×1−qnombre de termes
1−q Exemple
Calculer la sommeS= 3 + 32+ 33+...+ 313. Vidéo