Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques et géométriques www.mathGM.fr

Les savoir-faire Suites arithmétiques Suites géométriques

Suites arithmétiques et géométriques

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Lycée Louise Michel (Gisors)

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Les savoir-faire

Suites arithmétiques Suites géométriques

Les savoir-faire

130. Reconnaître une suite arithmétique.

131. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite arithmétique.

132. Calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.

133. Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

134. Reconnaître une suite géométrique.

135. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite géométrique.

136. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

137. Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.

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Définition

Suite arithmétique

•Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.

•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln,

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Définition

Suite arithmétique

•Autrement dit,uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r

Expression explicite

Siuest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,

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Définition

Suite arithmétique

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Définition

Suite arithmétique

un=u0+n×r

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Définition

Suite arithmétique

un=u0+n×r

u1

u0 u2 u3... _u

n un+1

+nr

+r +r +r +r

u0+ 2r u0+ 3r u0+nr u0+r

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Exemples

1.Déterminer l’expression générale de la suite arithmétique définie par u₁= 5etu_n+1=un+ 3. Vidéo

2.La suiteudéfinie parun= 7−9nest-elle arithmétique ? Vidéo 3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite arithmétiqueu telle que :u₅= 7etu₉= 19. Vidéo

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Somme

Somme des entiers de 1 à n

Soitnun entier naturel non nul. Alors la somme desn premiers termes non nuls est :

1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2

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Somme

1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2

Somme des termes d’une suite arithmétique

La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :

S=(nombre de termes)×premier terme + dernier terme 2

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Somme

1 + 2 + 3 +. . . .+n=n(n+ 1) 2

Somme des termes d’une suite arithmétique

La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :

S=(nombre de termes)×premier terme + dernier terme 2

Exemples

1.Calculer la sommeS= 15 + 16 + 17 +...+ 88. Vidéo 2.Calculer la sommeS= 33 + 36 + 39 +...+ 267. Vidéo

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Définition

Suite géométrique

•Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par un même nombreqappelé raison.

•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln,

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Définition

Suite géométrique

•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln, vn+1 =q×vn

Siuest une suite géométrique de raisonq et de premier termeu0, alors pour tout entier natureln,

v1

v0 v2 v3...

vⁿ vn+1

×qⁿ

×q ×q ×q ×q

v0×q² v0×q³ v0×qⁿ v0×q

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Définition

Suite géométrique

•Autrement dit,v est une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln, vn+1 =q×vn

Siuest une suite géométrique de raisonq et de premier termeu0, alors pour tout entier natureln, vn=v0×qⁿ

v1

v0 v2 v3...

vⁿ vn+1

×qⁿ

×q ×q ×q ×q

v0×q² v0×q³ v0×qⁿ v0×q

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Exemples

1.Déterminer l’expression générale de la suite géométrique définie par u₁= 5etu_n+1= 2un. Vidéo

2.La suiteudéfinie parun= 3×5ⁿ⁺¹est-elle géométrique ? Vidéo 3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite géométriqueu telle que :u₇= 16etu₄= 2. Vidéo

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Somme

Somme des puissances successives

Pour tout réelqnon nul et différent de 1, pour tout entier n>1:

1 +q+q²+. . . .+qⁿ=

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Somme

1 +q+q²+. . . .+qⁿ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Somme des termes d’une suite géométrique

Soitqun nombre réel avecq6= 0etq6= 1. La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonqest telle que :

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Somme

1 +q+q²+. . . .+qⁿ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Somme des termes d’une suite géométrique

Soitqun nombre réel avecq6= 0etq6= 1. La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonqest telle que :

S=(1^er terme)×1−qnombre de termes

1−q Exemple

Calculer la sommeS= 3 + 3²+ 3³+...+ 3¹³. Vidéo