SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
I) Suites arithmétiques
On donne pour tout entier naturel n, un = 5n + 8.
• Calculer u0 ; u1 ; u2 ; …
u0 = 5×0+8 = 8 ; u1 = 5×1+8 = 13 ; u2 = 5×2+8 = 18 +5 +5
• Pour tout n entier naturel, calculer un+1 – un
un+1 – un = 5(n + 1) + 8 – (5n + 8) = 5n + 5 + 8 – 5n – 8 = 5n – 5n + 8 + 5 – 8 = 5
Donc, tout n entier naturel, un+1 = un + 5 .
1) Définition, terme général :
a) Définition : une suite (un) est une suite arithmétique s’il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r . (r est appelé la raison de la suite arithmétique.)
b) Sens de variation :
Pour tout n entier naturel, un+1 – un = r. Donc :
si r > 0, un+1 > un . La suite arithmétique est strictement croissante
si r < 0, un+1 < un . La suite arithmétique est strictement décroissante
c) Terme général :
Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0 et de raison r.
Pour tout entier n on a un+1 = un + r.
• pour n = 0, u1 = u0 + r
• pour n = 1, u2 = u1 + r = (u0 + r) + r = u0 + 2r • pour n = 2, u3 = u2 + r = (u0 + 2r) + r = u0 + 3r …
De manière générale, on a donc un = u0 + nr
Soit (un) une suite arithmétique de 1er terme u0et de raison r, alors pour tout entier naturel n on a : un = u0 + nr .
De façon générale, pour tout entier naturel p, on a aussi un = up + (n – p)r
2) Somme des 1ers termes d’une suite arithmétique :
a) Posons Sn = u0 + u1 + … + un la somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un). Sn =
+ Sn =
u0 + u1 + … + un-1 + un un + un-1 + … + u1 + u0
Remarque :
Pour tout p ∈ ℕ avec p ⩾ n
up + un-p = u0 + pr + u0 + (n-p)r = u0 + pr + u0 + nr – pr = u0 + u0 + nr = u0 + un 2 Sn = 2 Sn =
(u0 + un) + (u1 + un-1) +…+ (un-1 + u1) + (un + u0)
(u0 + un) +(u0 + un) +...+ (u0 + un) + (u0 + un)
n+1 termes égaux à (u0 + un)
2 Sn = (n+1) (u0 + un)
La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique de premier terme u0et de
raison r est : u0 + u1 + … + un= (n+1) b) Somme des entiers de 1 à n :
1 + 2 + 3 + … + n représente une somme de n termes d’une suite arithmétique de raison 1 et de 1er terme 1 .
Donc 1 + 2 + 3 + … + n = n = ( )
On retient : 1 + 2 + 3 + … + n = ( )
Commentaire [A1]: On ajoute toujours 5 pour passer d’un terme au terme successif
Commentaire [A2]: La différence entre deux termes consécutifs…
Commentaire [A3]: … est bien toujours égale à 5.
Commentaire [A4]: Suite arithmétique définie par sa relation de récurrence. On ajoute (ou retranche si r<0) toujours la même raison r pour passer d’un terme à son suivant
Commentaire [A5]: Permet de définir une suite arithmétique directement par son terme général à partir de u_0 et de la raison. A partir de u_1, on aurait alors u_n=u_1+(n-1)r
Commentaire [A6]: Permet de calculer directement u_n lorsqu’on connait u_p Commentaire [A7]: On inverse l’ordre des termes dans ce cas
Commentaire [A8]: Chacun des termes de 2S_n s’écrivent bien sous la forme u_p+u_(n-p)
Commentaire [A9]: On fait la somme de S_n et de S_n
Commentaire [A10]: Pour faire la simplifation, on doit utiliser la remarque Commentaire [A11]: Grace à la Remarque, on voit que tous ces termes sont égaux, et égaux à u_0+u_n Commentaire [A12]: On fait la somme de n+1 termes tous égaux à u_0+u_n. C’est la définition de la multiplication de deux entiers
Commentaire [A13]: Nombre de termes de la somme
Commentaire [A14]: 1er et dernier terme de la somme
Commentaire [A15]: Application directe de la formule du dessus
II) Suites géométriques
On place une somme d’argent de 10000€ sur un compte dont les intérêts sont de 5% par an. On note un la somme d’argent sur le compte après n années.
u0 = 10000
u1 = 10000×1,05 = 10500
u2 = 10500×1,05 =11025 etc…
u0 u1 u2
×1,05 ×1,05 ×1,05 1) Définition et terme général :
a) Définition : une suite (un) est une suite géométrique s’il existe un réel non nul q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q×un . (q est appelé la raison de la suite
géométrique.) b) Terme général :
Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0 et de raison q.
Pour tout entier n on a un+1 = qun.
• pour n = 0, u1 = qu0
• pour n = 1, u2 = qu1 = q(qu0) = q2u0
• pour n = 2, u3 = qu2 =q(q2u0)= q3u0
…
De manière générale, on a donc un = qnu0
Soit (un) une suite géométrique de 1er terme u0et de raison q, alors pour tout entier
naturel n on a : un = qnu0.
De façon générale, pour tout entier naturel p, on a aussi un = up
2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique :
a) Posons Sn = u0 + u1 + … + un la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de
raison q.
• Si q = 1, alors pour tout n, un = 1nu0 = u0. Sn = u0 + u1 + … + un = Sn = u0 + u0 + … + u0 = (n+1) u0
• Si q ≠ 1 Sn = – q Sn = u0 + u1 + … + un qu0 + qu1 + … qun-1 + qun Sn – q Sn = Sn – q Sn = (1 – q) Sn = (1 – q) Sn = (1 – q) Sn = u0 – qu0 + u1 – ... – qun-1 + un – qun u0 – u1 + u1 – ... – un + un – un+1 u0 – 0 –… – 0 – un+1 u0 – qn+1 u0 u0(1 – qn+1) b) On retient :
La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0et de
raison q est :
si q ≠ 1, u0 + u1 + … + un= u0 ;
si q = 1, u0 + u1 + … + un = (n+1)u0 .
Commentaire [A16]: Pour passer d’un terme à son suivant, on multiplie toujours par un même nombre
Commentaire [A17]: Formule de récurrence d’une suite géométrique. <on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par un même réel q
Commentaire [A18]: Definition d’une suite géométrique par son terme general. Si on partait de u_1, on aurait u_n=(u_0)xq^(n-1)
Commentaire [A19]: Permet de calculer la valeur de u_n en connaissant le terme u_p
Commentaire [A20]: On multiplie S_n par q et on développe
Commentaire [A21]: On effectue la difference entre S_n et qS_n Commentaire [A22]: En simplifiant, tous les termes s’annulent et il ne reste que u_0 et –u_(n+1)
Commentaire [A23]: On factorise l’expression suivante par u_0
Commentaire [A24]: 1er terme de la somme
Commentaire [A25]: Nombre de termes de la somme
