Suites arithmétiques et suites géométriques
issu d’un travail d’Arié Yallouz, avec son autorisation I SUITES ARITHMÉTIQUES
1 DÉFINITION(VIDÉO1)
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un nombre réelrtel que pour tout entier natureln, un+1=un+r
Le réelrest appelé la raison de la suite arithmétique.
La raison d’une suite arithmétique est un réel indépendant den.
+r
bC
u0
+r
bC
u1
+r
bC
u2
+r
bC
u3
+r
bC
u4
+r
bC
u5
bC
u6 +r
Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombrer.
EXEMPLE
Soit (vn) une suite arithmétique de premier termev0=3 et de raisonr= −2.
Calculerv1=. . . ; v2=. . . ; v3=. . . et v6=. . . .
CAS PARTICULIERS:
• La suite des nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 1.
• La suite des nombres pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 est de raison 2.
2 RELATIONS ENTRE LES TERMES FORMULE EXPLICITE(VIDÉO2)
Le terme général d’une suite arithmétique (un) de raisonr et de premier termeu0estun=u0+nr.
ILLUSTRATION
+r
bC
u0
+r
bC
u1
+r
bC
u2
+r
bC
u3
bC
+r
bC
un−1
bC
un
+(n×r)
DÉMONSTRATION FONDAMENTALE RÉDIGÉE DANS LA VIDÉO3
(un) est une suite arithmétique de raisonr et de premier termeu0: u1=u0+r
u2=u1+r=(u0+r)+r=u0+2r u3=u2+r=(u0+2r)+r=u0+3r On admet que cette propriété s’étend de proche en proche à tout entiern:
un=un−1+r=(u0+(n−1)r)+r=u0+nr
EXEMPLE
Soit (vn) une suite arithmétique de premier termev0=1 et de raisonr=2.
Calculerv50=. . . ;
PROPRIÉTÉ
Si (un) une suite arithmétique de raisonralors pour tous entiers naturelsnetp, un=up+(n−p)r
❊ DÉMONSTRATION
(un) est une suite arithmétique de raisonr alors pour tous entiers naturelsnetp, un−up=(u0+nr)−¡
u0+pr¢
=(n−p)r REMARQUE:
Si (un) une suite arithmétique de raisonralors pour tous entiers naturelsnetk,un+k=un+kr.
Il suffit de connaître la raison et un terme quelconque d’une suite arithmétique pour pouvoir déterminer tous les termes de la suite.
3 VARIATIONS(VIDÉO4)
Le sens de variation d’une suite arithmétique ne dépend que de sa raison.
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr.
— La suite (un) est constante si, et seulement si,r=0.
— La suite (un) est strictement croissante si, et seulement si,r>0.
— La suite (un) est strictement décroissante si, et seulement si,r<0.
❊ DÉMONSTRATION
(un) est une suite arithmétique de raisonr donc pour tout entier natureln,un+1−un=r
— (un) est constante si, et seulement si, pour tout entier natureln,un+1−un=0 ⇐⇒r=0.
— (un) est strictement croissante si, et seulement si, pour tout entier natureln,un+1−un>0 ⇐⇒r>0.
— (un) est strictement décroissante si, et seulement si, pour tout entier natureln,un+1−un<0 ⇐⇒r<0.
4 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS
CAS PARTICULIER(VIDÉO5 : DÉMONSTRATION FONDAMENTALE)
Pour tout entier naturelnon a :
1+2+ · · · +n=n(n+1) 2
❊ DÉMONSTRATION
On peut écrire la sommeSdesnpremiers entiers naturels non nuls de deux manières : S=1+2+ · · · +(n−1)+n
S=n+(n−1)+ · · · +2+1 Par addition des deux lignes on obtient :
2S=(n+1)+(n+1)+ · · · +(n+1)+(n+1) ntermes
=n(n+1)
CAS GÉNÉRAL(VIDÉO6)
Soit (un) une suite arithmétique de premier termeu0,
u0+u1+ · · · +un=(n+1)×u0+un 2 La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à :
nombre de termes ×premier terme+dernier terme 2
PREUVE
Soit (un) une suite arithmétique de premier termeu0et de raisonr. S=u0+u1+u2+ · · · +un
=u0+(u0+r)+(u0+2r)+ · · · +(u0+nr)
=(n+1)u0+(1+2+ · · · +n)×r
=(n+1)u0+n(n+1)
2 ×r
=(n+1)
µ2u0+nr 2
¶
=(n+1)³u0+un
2
´
5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE(VIDÉO7) REMARQUE
La forme explicite d’une suite arithmétique étant de la formeun =f(n) où f est une fonction affine, les points formés par sa représentations graphiques sont alignés.
DÉFINITION:
Dans le cas d’une suite arithmétique, on parle d’une évolutionlinéaire
APPLICATION:
(un) est la suite arithmétique de premier terme u0=3 et de raison 1.
O
~j
~i
•
•
•
•
(vn) est la suite arithmétique de premier terme v0=10 et de raison -2.
O
~j
~i
•
•
•
•
II SUITES GÉOMÉTRIQUES
1 DÉFINITION(VIDÉO8)
Dire qu’une suite (un) est géométrique signifie qu’il existe un nombre réelq non nul tel que, pour tout entiern,
un+1=q×un
Le réelqest appelé la raison de la suite géométrique.
La raison d’une suite géométrique est un réel indépendant den.
u0
×q
bC
u0 u1
×q
bC
u1 u2
×q
bC
u2 u3
×q
bC
u3 u4
×q
bC
u4 u5
×q
bC
u5
bC
u6
×q
Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombreq.
EXEMPLE:
Soit la suite géométrique (vn), de premier termev0=10 et de raison 0,2.
Calculerv1=. . . ; v2=. . . ; v3=. . . et v6=. . . .
2 ÉVOLUTION EN POURCENTAGE(VIDÉO9)
— Augmenter une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100.
— Diminuer une grandeur det% équivaut à multiplier sa valeur par 1− t 100.
Chaque fois qu’on est confronté à une situation d’évolutions successives d’une grandeur det%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t
100(augmentation) ou 1− t
100(diminution)
EXEMPLES
1. Un capital de 2 000€est placé au taux d’intérêt composé de 1 % par an.
On noteCnle capital disponible au bout denannées alors : Cn+1=Cn×
µ 1+ 1
100
¶
=1,01×Cn
Ainsi, la suite (Cn) est une suite géométrique de premier termeC0=2000 et de raisonq=1,01.
2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 2016, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes.
On noternla quantité de rejets l’année 2016+nd’où : rn+1=rn×
µ 1− 4
100
¶
=0,96×rn
Ainsi, la suite (rn) est une suite géométrique de premier termer0=50000 et de raison 0,96.
3 RELATIONS ENTRE LES TERMES(VIDÉO10)
EXPRESSION EXPLICITE
Le terme général d’une suite géométrique (un) de raisonqet de premier termeu0estun=u0×qn.
ILLUSTRATION
u0
×q
bC
u0 u1
×q
bC
u1 u2
×q
bC
u2 u3
×q
bC
u3 u4
×q
bC
u4
×q
bC
un−1
bC
un
×qn DÉMONSTRATION FONDAMENTALE(VIDÉO11)
Quelques éléments de la démonstration mais la totalité du raisonnement est à voir en vidéo : (un) est une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0:
u1=u0×q
u2=u1×q=(u0×q)×q=u0×q2
On admet que cette propriété s’étend de proche en proche à tout entiern: un=un−1×q=(u0×qn−1)×q=u0×qn
Réciproquement, si la suite (un) est définie pour tout entiernparun=a×qnoùaetq sont des réels, alors pour tout entiern,
un+1=a×qn+1=a×qn×q=un×q
APPLICATION DIRECTE
Soit (un) une suite géométrique de premier termeu0=3 et de raisonq=2. Détermineru20.
Si la suite géométrique de premier termeu0=3 et de raisonq=2 alors d’après le coursun=u0×qn. doncu20=u0×220=3145728.
PROPRIÉTÉ
Si (un) une suite géométrique de raisonqalors pour tout entiernet pour tout entierp, un=up×qn−p
❊ DÉMONSTRATION
Soit (un) une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0alors pour tous entiers naturelsnetp, un=u0×qn=u0×qp×qn−p=up×qn−p
REMARQUE
Cette relation est utile lorsqu’une suite géométrique est définie à partir d’un certain rang ou lorsque l’on cherche la raison d’une suite géométrique dont on connaît deux termes.
EXEMPLE
(un) est une suite géométrique telle queu6=2 etu9=1 4.
Pour déterminer la raisonqde la suite (un) on utilise la relation : u9=u6×q9−6
Soitqsolution de l’équation
1
4=2×q3 ⇐⇒q3=1
8 ⇐⇒ q=1 2 Ainsi, (un) est une suite géométrique de raisonq=1
2. 4 SENS DE VARIATIONS(VIDÉO12-13)
ÉTUDE DES VARIATIONS D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE
Soit (un) une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0donc : un+1−un=u0×qn+1−u0×qn
=u0×qn×(q−1) La monotonie de la suite dépend du signe deu0,qnet (q−1)
• Siq<0 alorsqnest positif pournpair, négatif pournimpair donc la suite n’est pas monotone.
• Siq>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produitu0×(q−1) .
Siq>1 Si 0<q<1
Siu0>0, alors la suite (un) est croissante
1 2 3 4 5 6 7
0 n
un
bC bC bC bC bC bC bC bC bC
Siu0<0, alors la suite (un) est décroissante
1 2 3 4 5 6 7
0 n
un
bC bC bC bC bC bC bC bC bC
Siu0>0, alors la suite (un) est décroissante
1 2 3 4 5 6 7
0 n
un bC
bC bC bC bC bC bC bC bC
Siu0<0, alors la suite (un) est croissante
1 2 3 4 5 6 7
0 n
un
bC bC bC bC bC bC bC bC bC
Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants
THÉORÈME1
Soitqun réel non nul.
• Siq<0 alors la suite¡ qn¢
n’est pas monotone.
• Siq>1 alors la suite¡ qn¢
est strictement croissante.
• Si 0<q<1 alors la suite¡ qn¢
est strictement décroissante.
• Siq=1 alors la suite¡ qn¢
est constante.
THÉORÈME2
Soit (un) une suite géométrique de raisonqnon nulle et de premier termeu0non nul
• Siq<0 alors la suite (un) n’est pas monotone.
• Siq>0 etu0>0 alors la suite (un) a le même sens de variation que la suite¡ qn¢
.
• Siq>0 etu0<0 alors la suite (un) a le sens de variation contraire de celui de la suite¡ qn¢
.
5 RECHERCHE D’UN SEUIL À L’AIDE D’UN ALGORITHME(VIDÉO14)
EXEMPLE1
Soit (rn) la suite géométrique de raisonq=0,96 et de premier termer0=50 000 Commer0>0 et 0<0,96<1 on en déduit, que la suite (rn) est décroissante.
L’algorithme suivant permet d’obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à 30 000.
C’est à dire déterminer le plus petit entierItel que pour tout entiernÊI , 50 000×0,96n<30 000
A←50 000 I←0
Tant queAÊ30 000 I←I+1 A←0,96×A Fin Tant que
PROGRAMME
TEXAS CASIO
PROGRAM : SEUIL : 50000 → A : 0 → I
: While A ≥ 30000 : I + 1 → I : 0.96*A → A : End
: Disp I
===== SEUIL =====
50000 → A 0 → I
While A ≥ 30000 I + 1 → I 0.96*A → A WhileEnd I
Initialisation des variablesAetI:A=50000 etI=0.
Traitement : Tant que la conditionAÊ30000 est vraie, on effectue la suite d’instructions situées à l’intérieur de la boucle "TANT QUE" et "FINTANT QUE"
A>30000 ? VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX
I=1 A=48000
I=2 A=46080
· · ·
· · ·
I=13 A=29410, . . .
SORTIE BOUCLE TANT QUE
Sortie :
La calculatrice affiche 13. Donc pour tout entiernÊ13, 50000×0,96nÉ30000.
EXEMPLE2
Soit (un) la suite géométrique de raison 1,015 et de premier termeu0=2000 1,015>1 etu0>0 donc la suite (un) est croissante.
L’algorithme suivant permet d’obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur ou égal à 3 000.
C’est à dire déterminer le plus petit entierNtel que pour tout entiernÊN, 2000×1,015nÊ3000
A←2000 N←0
Tant queA<3000 A←1,015×A N←N+1 Fin Tant que
La valeur de la variableNobtenue à la fin de l’exécution de cet algorithme est 28.
Donc pour tout entiernÊ28,unÊ3000. Soit pour tout entiernÊ28, 2000×1,015nÊ3000.
6 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS
SOMME DES PUISSANCES SUCCESSIVES(VIDÉO15)
Soitq6=1 un réel etnun entier naturel. La somme 1+q+q2+ · · · +qn=1−qn+1 1−q .
DÉMONSTRATION FONDAMENTALE(VIDÉO16)
On poseS=1+q+q2+ · · · +qn, d’oùqS=q+q2+q3+ · · · +qn+1 S−qS=1−qn+1soit¡
1−q¢
S=1−qn+1. Commeq6=1, on en déduit queS=1−qn+1 1−q .
REMARQUE
Siq=1,S=1+1+1+ · · · +1.Sest la somme den+1 termes égaux à 1 d’oùS=n+1.
SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE(VIDÉO17)
Soit (un) une suite géométrique de raisonq6=1 et de premier termeu0alors pour tout entiern,
u0+u1+u2+ · · · +un=
n
X
i=0
ui=u0×1−qn+1 1−q
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La sommeSde termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonq6=1 est :
S=premier terme×1−qnombre de termes
1−q
DÉMONSTRATIONFONDAMENTALE(VIDÉO18)
(un) est une suite géométrique de raisonq6=1 et de premier termeu0donc
u0+u1+u2+ · · · +un=u0+u0×q+u0×q2+ · · ·u0×qn
=u0ס
1+q+q2+ · · · +qn¢
=u0×1−qn+1 1−q 7 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE(VIDÉO19) DÉFINITION
Dans le cas d’une suite géométrique, on parle d’une croissance (ou décroissance)exponentielle.
APPLICATION:
Soit (un) la suite géométrique de raison1 et de premier termeu0=8 2
O
~j
~i
•
•
•
• •
Soit (un) la suite géométrique de raison 2 et de premier termeu0=1
~j
