Chapitre 4
Suites : Premières notions Suites arithmétiques
Suites géométriques
Sommaire
4.1 Activités . . . . 23
4.2 Généralités sur les suites. . . . 25
4.2.1 Modes de génération d’une suite. . . 25
4.2.2 Représentation graphique d’une suite. . . 25
4.2.3 Sens de variation d’une suite . . . 26
4.3 Deux suites particulières. . . . 26
4.3.1 Suites arithmétiques . . . 26
4.3.2 Suites géométriques . . . 26
4.4 Exercices . . . . 27
4.1 Activités
ACTIVITÉ4.1.
Pour chacune des listes de nombres suivantes : 1. Conjecturer, dans chaque cas, une ma-
nière d’obtenir le terme suivant.
2. Conjecturer, dans chaque cas, une ma- nière d’obtenir le vingtième terme.
a b c d
0 1 100
1 1,5 1 20
4 1,75 3 4
9 1,875 5 0,8
16 1,9375 7 0,16 25 1,96875 9 0,032
4.1 Activités Première STMG
ACTIVITÉ4.2.
On donne ci-dessous le tableau d’effectifs, en million, de la population africaine depuis 1950.
Année 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Population 227,3 285 366,8 482,2 638,7 819,5 1011,2 1. Représenter cette évolution dans un repère.
2. Calculer les coefficients multiplicateurs permettant de passer de la population d’une décen- nie à celle de la suivante à partir de l’année 1950.
3. Un statisticien propose de modéliser la population africaine de la manière suivante : « À partir de 1950, tous les dix ans, la population africaine est multipliée par 1,28 ».
(a) Comment justifier sa démarche?
(b) Comparer le résultat obtenu par ce modèle en 2010 aux données réelles.
Le modèle serait-il plus proche de la réalité avec un coefficient multiplicateur de 1,29 ? (c) Que fait l’algorithme4.1de la présente page?
(d) Le programmer sur sa calculatrice.
(e) Le modifier afin qu’il n’affiche que le dernier terme calculé.
(f) À l’aide de l’algorithme précédent, représenter cette évolution sur le même graphique.
(g) À l’aide de l’algorithme précédent, estimer au cours de quelle décennie la population africaine dépassera 3 milliards.
TABLE4.1: Algorithme de l’activité4.2
ENTREES n
INITIALISATION
u PREND LA VALEUR 227.3 TRAITEMENT
POUR k ALLANT DE 1 A n FAIRE u PREND LA VALEUR u*1.28 AFFICHER k
AFFICHER u FIN POUR
ACTIVITÉ4.3.
Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.
On propose à un locataire deux types de bail :
• Contrat A : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 11,5 euros pendant la durée des trois ans.
• ContratB : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 1 % pendant la durée des trois ans.
1. (a) Déterminer, avec éventuellement un algorithme programmé sur votre calculatrice, le loyer du dernier mois avec le contratA.
(b) Déterminer, avec éventuellement un algorithme programmé sur votre calculatrice, la somme des loyers que le locataire devrait payer avec le contratA.
2. Mêmes questions avec le contrat B.
Première STMG 4.2 Généralités sur les suites
4.2 Généralités sur les suites
4.2.1 Modes de génération d’une suite
Relevés chronologiques
Dans la « vie courante », les principales suites rencontrées sont obtenues par des relevés, en général chronologiques, en économie, ou des mesures en physique.
En mathématiques, nous nous intéresserons essentiellement aux suites définies mathématique- ment (par des formules) dont l’objet sera la modélisation des suites précédentes.
Définition par une formule explicite
Une suiteexpliciteest une suite dont le terme général s’exprime en fonction den. Elle est du type un=f(n) oùf est une fonction. On a donc la définition suivante :
Définition 4.1. Soitf une fonction définie au moins surR+. On peut alors définir une suite (un) de la façon suivante : Pour toutn∈N,un=f(n).
Remarque. On peut donc calculer directement n’importe quel terme de la suite à partir de l’indice n. C’est le côté agréable des suites explicites.
Exemple. La suite (un) définie, pour toutn∈N, parun=2n−1. On aun=f(n) avecf :x7→2x−1.
Par exempleu4=2×4−1=7.
Définition par récurrence
Une suiterécurrenteest définie par la donnée des premiers termes et la relation liant les termes de la suite (en général consécutifs).
Exemple. (un) :
½ u0=4
un+1=2un−5 donneu0=4 ;u1=2u0−5=3 ;u2=2u1−5=1 ; etc.
Remarques.
• Contrairement aux suites explicites, on ne peut pas,a priori, calculer un terme quelconque de la suite, sans avoir obtenu, avant, tous les termes le précédant.
De nombreux exercices seront consacrés à obtenir, malgré tout, des moyens de calculer di- rectement un terme donné, c’est-à-dire à transformer, lorsque c’est possible, la suite récur- rente en une suite explicite.
• Toutes les fonctionsf ne conviennent pas. Par exemple siu0=3 et f(x)=p
x−2, c’est-à-dire un+1=p
un−2, on au1=p
u0−2=p
1=1. Par contre on ne peut pas calculeru2, donc la suite n’est pas définie pourn>1.
4.2.2 Représentation graphique d’une suite
Définition 4.2. Dans un repère ¡
O;~ı,~¢
, la représentation graphique d’une suite (un) est l’en- semble des pointsMnde coordonnées (n;un).
Remarque. Contrairement à une fonction, la représentation graphique d’une suite n’est pas une courbe mais un nuage de points car la suite n’est définie que pourn∈N.u1,5n’a, mathématique- ment, pas de sens et donc le point (1,5;u1,5) non plus.
4.3 Deux suites particulières Première STMG
4.2.3 Sens de variation d’une suite
Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de varia- tion pour une suite.
Définition 4.3. Soit (un) une suite. On dit que :
• la suite (un) estcroissantesi, pour tout entiern:un+1>un;
• la suite (un) estdécroissantesi, pour tout entiern:un+16un;
• la suite (un) estconstanteoustationnairesi, pour tout entiern,un=un+1.
Définition 4.4. Soit (un) une suite. On dit que (un) est monotone si son sens de variation ne change pas (elle reste croissante ou décroissante)
4.3 Deux suites particulières
4.3.1 Suites arithmétiques
Définition 4.5(par récurrence). On appellesuite arithmétiquetoute suite (un) telle que Pour tout entier natureln,un+1=un+roùr∈R
r est appeléla raisonde la suite arithmétique.
Remarque. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour toutn, la différenceun+1−unest constante. Cette constante sera alors la raison de la suite.
EXERCICE. 1. La suite formée par les nombres entiers naturels pairs est-elle une suite arithmé- tique? Et celle formée par les nombres entiers naturels impairs?
2. La suite définie par : pour toutn,un=3n−2 est-elle arithmétique?
3. La suite définie par : pour toutn,un=n2est-elle arithmétique?
4. Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont arithmétiques?
Propriété 4.1. Soit(un)une suite arithmétique de raison r . Alors :
• si r>0,(un)est . . . ;
• si r<0,(un)est . . . ;
• si r=0,(un)est . . . . Preuve. Pour toutn>0, on aun+1−un=un+r−un=r, ce qui donne le résultat. ♦
4.3.2 Suites géométriques
Définition 4.6(par récurrence). On appellesuite géométriquetoute suite (un) telle que Pour tout entier natureln,un+1=q×unoùq∈R
q est appeléla raisonde la suite géométrique.
Remarques.
Première STMG 4.4 Exercices
1. Siq=0, tous les termes de la suite, hormis peut-êtreu0sont nuls.
Siu0=0, tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.
2. Pour démontrer qu’une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour toutn, le quotientuun+1
n est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite.
EXERCICE. 1. La suite définie par : pour toutn,un=n2est-elle géométrique?
2. Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont géométriques?
On ne s’intéresse, en première, qu’aux variations de suites géométriques de raison positive.
Propriété 4.2. Soit(un)une suite géométrique de raison q. Alors, si u0>0:
• si0<q<1,(un)est . . . ;
• si q=1,(un)est . . . ;
• si q>1,(un)est . . . . Preuve. Pour toutn>0 on a un+1
un =q, ce qui donne le résultat. ♦
Il pourra être utile de retenir la propriété suivante : Propriété 4.3. Soit q∈R:
• Si0<q<1alors qn>qn+1; • Si q>1alors qn<qn+1. La preuve en sera faite en classe.
4.4 Exercices
EXERCICE4.1.
u0=0 etun+1=un+12pour toutn∈N.
1. Calculer les cinq premiers termes et représenter la suite dans un repère.
2. La suite est-elle géométrique? arithmétique?
EXERCICE4.2.
vn=5−2npour toutn∈N.
1. Calculer les cinq premiers termes et représenter la suite dans un repère.
2. La suite est-elle géométrique? arithmétique?
EXERCICE4.3.
wn=(n+1)2−n2pour toutn∈N.
1. Calculer les cinq premiers termes et représenter la suite dans un repère.
2. La suite est-elle géométrique? arithmétique?
EXERCICE4.4.
xn=n3+n1 pour toutn∈N.
1. Calculer les cinq premiers termes et représenter la suite dans un repère.
2. La suite est-elle géométrique? arithmétique?
4.4 Exercices Première STMG
EXERCICE4.5.
yn=¡1
2
¢n
pour toutn∈N
1. Calculer les cinq premiers termes et représenter la suite dans un repère.
2. La suite est-elle géométrique? arithmétique?
EXERCICE4.6.
La suite (un) est arithmétique est de raisonr=8 et on sait queu0=650.
1. Calculer les 5 premiers termes.
2. (a) Écrire, en langage courant, un algorithme permettant de calculer n’importe quel terme de rangn.
(b) Le rentrer dans sa calculatrice.
(c) L’utiliser pour détermineru100. EXERCICE4.7.
On considère une suite géométrique (un) de premier termeu0=5 et de raisonq=2.
1. Calculer les 5 premiers termes.
2. (a) Écrire, en langage courant, un algorithme permettant de calculer n’importe quel terme de rangn.
(b) Le rentrer dans sa calculatrice.
(c) L’utiliser pour détermineru20. EXERCICE4.8.
Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail :
• Premier contrat: un loyer de 200(pour le premier mois, puis une augmentation de 5(par mois jusqu’à la fin du bail ;
• Second contrat: un loyer de 200(pour le premier mois, puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.
Question : Quel sera le contrat qui donnera le loyer le plus cher au bout des 36 mois?
Indications :
1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
2. Calculer, à l’aide d’un algorithme qu’on écrira en langage courant puis qu’on entrera dans sa caculatrice, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36è mois.
3. Répondre à la question.
EXERCICE4.9.
Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.
Question : le nombre d’adhérents peut-il doubler et, si oui, en quelle année?
Indications :
Pour chaque année à partir de 1990 on noteunle nombre d’adhérents l’année 1990+n.
1. Quelle est la valeur deu0? deu1?
2. Préciser la nature de la suite (un) puis exprimerunen fonction den.
3. Étudier la monotonie de (un).
4. Utiliser la calculatrice pour répondre à la question.
