Fiche sur les limites de suites 1. Définitions 

Fiche sur les limites de suites

1. Définitions

 lim _n

n u

      lorsque tout intervalle de la forme



^{A ; }



contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

 lim _n

n u

      lorsque tout intervalle de la forme



^{ ; A}



contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

 lim _n

n u l

    lorsque tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

2. Limites de référence

n   n_{  }

n  n_{  } 2

n   n_{  } 3

n   n_{  }

1 _n 0

n^{  }

1 _n 0

n^{  }

2

1 _n 0

n ^{  }

3

1 _n 0

n ^{  }

1

q qⁿ  _{n  }

1 q 1

   qⁿ_{n  } 0

1

q qⁿ_{n  } 1

1

q

 

^qn n’a pas de limite

3. Théorèmes de comparaison a. Théorème des gendarmes

u_n v_n w_n

Si , alors lim _n

n v l

    . lim _n lim _n

n u n w l

       

b. Théorème avec un seul gendarme

u_nv_n

Si , alors lim _n

n v

     . lim _n

n u

     

u_nv_n

Si , alors lim _n

n u

     . lim _n

n v

     

4. Limites et monotonie

Si M est un majorant de la suite, alors tous les réels supérieurs ou égaux à M sont aussi majorants.

Si m est un minorant de la suite, alors tous les réels inférieurs ou égaux à m sont aussi minorants.

lim _n

n u L

   

Si

 

un est croissante, alors  n  u_nL (L est un majorant de la suite).

Si

 

un est décroissante, alors  n u_nL (L est un minorant de la suite).

Théorème fondamental :

Si

 

un est croissante majorée, alors elle converge.

Si

 

un est décroissante minorée, alors elle converge.

Si

 

un est croissante non majorée, alors elle diverge vers +  . Si

 

un est décroissante non minorée, alors elle diverge vers – .

5. Rappels sur les sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique 1 terme dernier termeer

somme nombre

2

  

 

nbre de termes

er 1

somme 1 terme 1 q

q

  



6. Majoration-minoration d’une somme

Si Aa₁a₂...a_n et a₁a₂  a_n, na₁ A na_n.

7. Quelques exemples



On cherche la limite de la suite

 

^u_n définie par u_n 2 n.

nlim n

      donc lim

 

n n

      . On en déduit que lim _n

n u

     .



On cherche la limite de la suite

 

un définie par u_n3n² n 1.

 

 

lim 3 2

lim 1

n

n

n n

  

  

   



    



donc on rencontre une forme indéterminée du type "  ".

n *

  ²

2

1 1

n 3

u n

n n

 

    

 

2

2

lim

1 1

lim 3 3

n

n

n

n n

  

  

   



    

 

  

donc par limite d’un produit, lim _n

n u

     .



On cherche la limite de la suite

 

un définie par

2 2

2 1

3 1

n

u n

n n

 

  .

 

 

2

2

lim 3 1

lim 2 1

n

n

n n

n

  

  

    



    



donc on rencontre une forme indéterminée du type ""

 .

n *

  ²

2

2 1

3 1

1

n n

u

n n





 

2

2

lim 2 1 2

3 1

lim 1 1

n

n

n n n

  

  

  

 

  

  

    

  

  

donc par limite d’un quotient, lim _n 2

n u

    .