NB : Pour un nombre 𝑚 ∈ ℝ, on a |𝑚| = { 𝑚 si 𝑚 ≥ 0
−𝑚 si 𝑚 < 0
|𝑚| est un nombre réel positif.
Δ > 0
le polynôme 𝑓(𝑧) a deux racines réelles distinctes : 𝑥1=−𝑏−√Δ
2𝑎 et 𝑥2=−𝑏+√Δ
2𝑎
le polynôme 𝑓(𝑧) a une forme factorisée à coefficients réels : 𝑓(𝑧) = 𝑎(𝑧 − 𝑥1)(𝑧 − 𝑥2)
Δ = 0
le polynôme 𝑓(𝑧) a une unique racine réelle double : 𝑥0= − 𝑏
2𝑎
le polynôme 𝑓(𝑧) a une forme factorisée à coefficients réels : 𝑓(𝑧) = 𝑎(𝑧 − 𝑥0)²
Δ < 0
le polynôme 𝑓(𝑧) a deux racines complexes conjuguées : 𝑧1 =−𝑏−𝑖√|Δ|2𝑎 et 𝑧2=−𝑏+𝑖√|Δ|2𝑎
le polynôme 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
- n’a pas de forme factorisée à coefficients réels ; - admet une factorisation à coefficients complexes :
𝑓(𝑧) = 𝑎(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2) On considère un polynôme du 2nd degré 𝑓(𝑧) = 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 à coefficients réels (𝑎 ∈ ℝ∗ ; 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑐 ∈ ℝ ).
On pose Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐, discriminant du polynôme 𝑓(𝑧).
CONDITION RACINES DU POLYNOME FORME FACTORISEE DU POLYNOME
SI ALORS
CHEVRIER – 2020/2021
