2.6 Exercices 43
2.6 Exercices
On utilisera systématiquement le fait qu’une application linéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est automatiquement continue.
Exercice 2.1 Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que
8v, w2E,kvk+kwk kv+wk+kv wk. En déduire que
8v, w2E,kvk+kwk 2 max{kv +wk,kv wk}. La constante 2 est elle optimale ?
Exercice 2.2 Soit E un espace vectoriel et E⇥E !R, (v, w)7! hv, wi
un produit scalaire (h 1v1 + 2v2, wi = 1hv1, wi+ 2hv2, wi, hv, wi = hw, vi et hv, vi>0,v 6= 0)). Montrer que l’application
E !R, v 7! kvk:=p hv, vi
est une norme (on pourra d’abord montrer l’inégalité de de Cauchy-Schwarz (|hv, wi| kukkvk) en considérant le discriminant du polynôme kt u+vk2 2R[t]).
Exercice 2.3 Soit E un espace vectoriel normé non nul, v0, v00 2E et R, R0 >0. Montrer que
1. si B+(v0, R) ⇢ B+(v0, R0), alors R R0 (considérer v = v0 + Ru avec kuk= 1).
2. si B+(v0, R) ⇢ B+(v00, R), alors v0 = v00 (considérer v = v0 +Ru avec u= (v0 v00)/d sid :=kv0 v00k 6= 0).
3. si B+(v0, R) =B+(v00, R0), alors v0 =v00 etR =R0 (par symétie, on pourra supposer queR0 R).
Exercice 2.4 Soit E un espace vectoriel normé et X ⇢E une partie quelconque.
Montrer que l’application dX :E !R, v 7! inf
w2Xkv wk
est continue (on pourra montrer qu’elle est lipschitzienne).
Exercice 2.5 Montrer que kFk:=
Xn
k=0
|F(k)(k)|
44 Chapitre 2. Espaces vectoriels normés définit une norme sur R[t]n. En déduire que
9M 2R,8F 2R[t]n, Z 1
0
F(t)etdt M Xn
k=0
|F(k)(k)|.
Exercice 2.6 Montrer que la multiplicationR[t]n⇥R[t]m !R[t]m+n est conti- nue pour les normes k k1 (on pourra se rappeler qu’elle est bilinéaire).
Exercice 2.7 Montrer que la suite Fn = Pn 0 tk
k! est une suite de Cauchy dans (R[t],k k1) qui ne converge pas.
Exercice 2.8 Soit {fn}n2N une suite de fonctions polynomiales qui converge uni- formément vers une fonction f.
1. Montrer qu’ 9N 2N,8n N,8x2R,|(fn fN)(x)|1.
2. En déduire que fn fN =cn 2R et que {cn}n2N est convergente.
3. En déduire que f est nécessairement aussi une fonction polynomiale.
4. Montrer que le résultat n’est plus valide si la suite n’est pas uniformément convergente.
Exercice 2.9 Les parties suivantes sont elles ouvertes ? fermées ? 1. {(x, y)2R2, xy 1}⇢R2,
2. {z 2C,Re(z2)>0}⇢C, 3. {A2Mn(R),tA =A}⇢Mn(R) Exercice 2.10 Montrer que
U :={F 2R[t]n,9a2R, F(a)<0}
est un ouvert de R[t]n.
Exercice 2.11 1. Soient U et V deux ouverts d’un espace vectoriel normé E. Montrer que U+V :={v+w, v 2U, w 2V} est un ouvert de E.
2. Soient
F ={n, n2Z>1} et G={ n+ 1
n, n2Z>1}.
Montrer que F et Gsont des fermés de R mais que F +G n’est pas fermé.
Exercice 2.12 Montrer que
kfk:=|f(0)|+kf0k1 et kfk0 :=kfk1+kf0k1
définissent des normes surC1([0,1],R). Sont-elles équivalentes entre elles ? Sont elles équivalentes à k k1?