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si ( ) ( ) ,alors = (considérer = + avec si ( ) ( ) ,alors (considérer = + avec Soit unespacevectorielnorménonnul, et 0 . estunenorme(onpourrad’abordmontrerl’inégalitédedeCauchy-Schwarz unproduitscalaire( + = + , = et Onutiliserasystématiquementlefaitqu’u

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

2.6 Exercices 43

2.6 Exercices

On utilisera systématiquement le fait qu’une application linéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est automatiquement continue.

Exercice 2.1 Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que

8v, w2E,kvk+kwk  kv+wk+kv wk. En déduire que

8v, w2E,kvk+kwk 2 max{kv +wk,kv wk}. La constante 2 est elle optimale ?

Exercice 2.2 Soit E un espace vectoriel et E⇥E !R, (v, w)7! hv, wi

un produit scalaire (h 1v1 + 2v2, wi = 1hv1, wi+ 2hv2, wi, hv, wi = hw, vi et hv, vi>0,v 6= 0)). Montrer que l’application

E !R, v 7! kvk:=p hv, vi

est une norme (on pourra d’abord montrer l’inégalité de de Cauchy-Schwarz (|hv, wi| kukkvk) en considérant le discriminant du polynôme kt u+vk2 2R[t]).

Exercice 2.3 Soit E un espace vectoriel normé non nul, v0, v00 2E et R, R0 >0. Montrer que

1. si B+(v0, R) ⇢ B+(v0, R0), alors R  R0 (considérer v = v0 + Ru avec kuk= 1).

2. si B+(v0, R) ⇢ B+(v00, R), alors v0 = v00 (considérer v = v0 +Ru avec u= (v0 v00)/d sid :=kv0 v00k 6= 0).

3. si B+(v0, R) =B+(v00, R0), alors v0 =v00 etR =R0 (par symétie, on pourra supposer queR0 R).

Exercice 2.4 Soit E un espace vectoriel normé et X ⇢E une partie quelconque.

Montrer que l’application dX :E !R, v 7! inf

w2Xkv wk

est continue (on pourra montrer qu’elle est lipschitzienne).

Exercice 2.5 Montrer que kFk:=

Xn

k=0

|F(k)(k)|

(2)

44 Chapitre 2. Espaces vectoriels normés définit une norme sur R[t]n. En déduire que

9M 2R,8F 2R[t]n, Z 1

0

F(t)etdt M Xn

k=0

|F(k)(k)|.

Exercice 2.6 Montrer que la multiplicationR[t]nR[t]m !R[t]m+n est conti- nue pour les normes k k1 (on pourra se rappeler qu’elle est bilinéaire).

Exercice 2.7 Montrer que la suite Fn = Pn 0 tk

k! est une suite de Cauchy dans (R[t],k k1) qui ne converge pas.

Exercice 2.8 Soit {fn}n2N une suite de fonctions polynomiales qui converge uni- formément vers une fonction f.

1. Montrer qu’ 9N 2N,8n N,8x2R,|(fn fN)(x)|1.

2. En déduire que fn fN =cn 2R et que {cn}n2N est convergente.

3. En déduire que f est nécessairement aussi une fonction polynomiale.

4. Montrer que le résultat n’est plus valide si la suite n’est pas uniformément convergente.

Exercice 2.9 Les parties suivantes sont elles ouvertes ? fermées ? 1. {(x, y)2R2, xy 1}⇢R2,

2. {z 2C,Re(z2)>0}⇢C, 3. {A2Mn(R),tA =A}⇢Mn(R) Exercice 2.10 Montrer que

U :={F 2R[t]n,9a2R, F(a)<0}

est un ouvert de R[t]n.

Exercice 2.11 1. Soient U et V deux ouverts d’un espace vectoriel normé E. Montrer que U+V :={v+w, v 2U, w 2V} est un ouvert de E.

2. Soient

F ={n, n2Z>1} et G={ n+ 1

n, n2Z>1}.

Montrer que F et Gsont des fermés de R mais que F +G n’est pas fermé.

Exercice 2.12 Montrer que

kfk:=|f(0)|+kf0k1 et kfk0 :=kfk1+kf0k1

définissent des normes surC1([0,1],R). Sont-elles équivalentes entre elles ? Sont elles équivalentes à k k1?

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