Questions ROC sur les limites de suites géométriques
Montrer que pour tout réel q > 0 et tout naturel n , qn≥ 1 + n(q −−−− 1) On démontre la propriété par récurrence
P(0) est vraie , car q0 = 1 ≥ 1 + 0(q − 1)
Supposons que pour un certain entier n ≥ 0 , P(n) est vraie qn ≥ 1 + n(q − 1) , donc qn+1 ≥ q + nq(q − 1)
donc qn+1 − 1 − (n + 1)(q − 1) ≥ q + nq(q − 1) − 1 − (n + 1)(q − 1) = n(q − 1)² ≥ 0 donc qn+1≥ 1 + (n + 1)(q − 1) et P(n+1) est vraie
Montrer en utilisant la propriété précédente que pour tout réel q > 1, lim
n →→→→ +∞∞∞∞qn = +∞ Si q > 1 , q − 1 > 0 , donc lim
n → +∞n(q − 1) = +∞ , donc lim
n → +∞qn = +∞
Montrer en utilisant la propriété précédente que pour tout réel q tel que 0 < q < 1 , alors lim
n →→→→ +∞∞∞∞qn = 0 Si 0 < q < 1 , q' = 1
q > 1 , qn =
1 q'
n
= 1
q'n avec lim
n → +∞q'n = +∞ , donc lim
n → +∞qn = 0
Montrer en utilisant la propriété précédente que pour tout réel q tel que -1 < q < 0 , alors lim
n →→→→ +∞∞∞∞qn = 0
Si − 1 < q < 0 , alors q' = − q vérifie 0 < q' < 1,
qn = (-1)n × (q')n , donc suivant la parité de n , qn = − (q')n ou qn = (q')n donc on peut écrire l'encadrement − (q')n≤ qn≤ (q')n
Or lim
n → +∞(q')n = 0 , donc d'après le théorème des gendarmes , lim
n → +∞qn = 0
