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On dit que q est d´efinie positive sur E si q(x)>0 pour tout x6= 0

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Texte intégral

(1)

Facult´e des Sciences Universit´e Mohammed V

Alg`ebre V -Ann´ee universitaire 2019-2020 Chapitre 3: Espaces Euclidiens

Cours: Nadia Boudi

Dans tout ce chapitre, E est un espace vectoriel de dimension finie sur R.

1. Notions de base

D´efinition 1.1. Soitq une forme quadratique surE. On dit que q est d´efinie positive sur E si q(x)>0 pour tout x6= 0. La forme polaire f de q est appel´ee produit scalaire associ´e `a q. Dans ce cas, on note f(x, y) :=hx, yi pour tous x, y ∈E et on dit que (E,h., .i) (ou justeE s’il n’y a pas de risque d’ambiguit´e) est un espace euclidien.

Exemples 1.2. (1) Rappelons la structure euclidienne classique deRn (voir TD, S´erie 2):

h(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)i=

n

X

i=1

xiyi.

(2) Posons E =R3[X]. Soitq :E →Rd´efinie par q(

3

X

i=0

aiXi) =

3

X

i=0

a2i.

Observons que q est une forme quadratique sur E pour laquelle la base canonique {1, X, X2, X3} de E est une base orthonormale. Il est clair que q est d´efinie positive. Cette structure est appel´ee structure euclidienne canonique de E. On peut g´en´eraliser cet exemple `aRn[X], pour tout n∈N.

Th´eor`eme 1.3. (In´egalit´e de Cauchy Schwartz), Soit (E,h., .i) un es- pace euclidien. Alors pour tous x, y ∈E, on a

hx, yi2 ≤ hx, xi hy, yi

De plus, on a l’´egalit´e si et seulement si x et y sont colin´eaires.

Preuve. Soit q la forme quadratique associ´ee au produit scalaire de E.

Fixons x, y ∈ E et consid´erons P(t) = q(x +ty) pour tout t ∈ R. Comme h., .i est une forme bilin´eaire sym´etrique, on d´eduit l’´egalit´e

P(t) =t2q(y) + 2thx, yi+q(x)

1

(2)

En particulier, P(t) peut ˆetre vu comme un polynˆome en t qui est toujours de signe positif. Donc son discriminant est n´egatif, c’est `a dire

0 =hx, yi2−q(x)q(y)≤0.

D’o`u l’in´egalit´e. Supposons maintenant que ∆0 = 0. Alors il existe t ∈ R tel que q(x+ty) = 0. Autrement dit, x+ty = 0, c’est `a dire x et y doivent ˆetre li´es. La r´eciproque est ´evidente.

Dans un espace euclidien, la notion de produit scalaire nous permet de d´efinir une distance sur E, de parler de longueurs, et de d´efinir une structure g´eom´etrique. Rappelons d’abord la d´efinition suivante de norme qui g´en´eralise les concepts de valeur absolue surRet de module sur C:

D´efinition 1.4. Soit F un espace vectoriel sur K o`u K = R ou C. Soit N :F →R+ une application. On dit que N est une norme sur F si pour tous x, y ∈F, pour tout λ∈K, on a :

(i) N(x) = 0 si, et seulement si x= 0, (ii) N(λx) =|λ|N(x),

(iii) N(x+y)≤N(x) +N(y) (In´egalit´e triangulaire).

Lemme 1.5. Supposons que (E,h., .i) est un espace euclidien. Pour tout x ∈ E, posons N(x) = p

hx, xi, alors N est une norme sur E.

Elle est dite norme euclidienne associ´ee au produit scalaire de E.

Preuve. Soit x ∈ E avec x 6= 0. Alors hx, xi > 0, donc N est bien d´efinie et N(x) 6= 0. La condition (i) pour la d´efinition de norme est clairement v´erifi´ee.

Soit λ∈R alors

N(λx) =p

hλx, λxi=|λ|p

hx, xi=|λ|N(x).

Donc la condition (ii) est v´erifi´ee. Enfin, pour (iii), utilisons encore une fois la bilin´earit´e du produit scalaire et appliquons l’in´egalit´e de Cauchy -Schwartz, on obtient:

N(x+y)2 ≤N(x)2+N(y)2+ 2N(x)N(y) = (N(x) +N(y))2

D’o`u la conclusion d´esir´ee.

S´eance du Mardi 31 Mars 2020

Une caract´eristique importante des espaces euclidiens est l’absence des

´

el´ements isotropes. Dans la suite de ce premier paragraphe, nous ex- ploitons cette propri´et´e et nous d´eduisons des r´esultats importants.

Ainsi, le lemme 3.14 du chapitre 2 devient

Lemme 1.6. Soit B ={u1, . . . , ur} une famille orthogonale telle que ui 6= 0 pour tout 1≤i≤r, alors la famille B est libre.

(3)

Notation. Si E est un espace euclidien, on note par k.k la norme associ´ee au produit scalaire de E. Ainsi, pour toutx∈E, on a

kxk=p hx, xi.

Remarque 1.7. On sait que siE est muni d’une forme quadratiqueq, alors tout sous espace vectoriel H de E est naturellement muni d’une forme quadratique de mani`ere naturelle. En particulier, si E est un espace euclidien, tout sous espace vectoriel est un espace euclidien via le produit scalaire induit.

Th´eor`eme 1.8. Supposons que E est un espace euclidien. Alors on a les assertions suivantes:

(1) E admet une base orthonormale.

(2) Si H est un sous espace vectoriel de E, alors H ⊕ H = E et H⊥⊥ =H.

(3) Toute famille orthonormale de E est libre et peut ˆetre compl´et´ee en une base orthonormale de E.

Preuve. D´esignons parqla forme quadratique associ´ee au produit scalaire de E, q(x) =hx, xi.

(i) D’apr`es le chapitre pr´ec´edent, on sait qu’il existe une base orthog- onale B ={e1, . . . , en} de E associ´ee `aq. On aq(x) = kxk2 pour tout x et q(ei)6= 0 pour tout i. Posons ui = ei

keik. Alors kuik= 1 =hui, uii

En particulier, {u1, . . . , un}est une base orthonormale de E.

(ii) La forme quadratique induite sur H est non d´eg´en´er´ee, puisque N(q |H) ⊆ C(q |H), et on sait que C(q |H) = {0}. Donc d’apr`es le chapitre 2, H⊕H = E. D’autre part, comme q est non d´eg´en´er´ee, en utilisant encore une fois le chapitre 2, on d´eduit que, H⊥⊥=H.

(iii) SoitB1 une famille orthonormale deE. Alors tous les vecteurs qui la constituent sont non nuls et donc d’apr`es le lemme 1.6,B1 est libre.

Posons H = Vec(B1) et soit B2 une base orthonormale de l’espace euclidien H. Alors d’apr`es (ii), H⊕H = E. Donc il est clair que

B1∪B2 est une base orthonormale de E.

2. Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Dans toute la suite de ce chapitre, on suppose que E est un espace euclidien.

Soient B = {e1, . . . , en} une base orthonormale de E et soit x ∈ E.

Ecrivons x=Pn

i=1xiei. Alors xi =hx, eii. Donc

(1) x=

n

X

i=1

hx, eiiei

(4)

Ainsi, si x, y ∈E, on a

(2) hx, yi=

n

X

i=1

hx, eiihy, eii

En particulier,

(3) kxk2 =

n

X

i=1

hx, eii2

N.B. Il est facile de v´erifier les ´equations (2) et (3). N´eanmoins, les d´etails seront donn´es avec le corrig´e de la S´erie 4 de TD.

Exercice ´elementaire. DansR2, trouver les coordonn´ees de (5,−12) dans la base B ={(9

5,1),(−3, 6 13)}.

Il est clair que dans l’exercice ci-dessus, la base B n’est pas orthonor- male. Donc vous ne pouvez pas utiliser la formule (1) pour calculer les coordonn´ees et il faut y aller directement. En particulier, vous r´ealiserez qu’il est beaucoup plus facile de calculer les coordonn´ees dans une base orthonormale qu’une base quelconque (voir aussi TD, S´erie 4). Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’associer `a chaque base de E une base orthonormale, qui lui soit proche dans un certain sens.

Exemple 2.1. Dans R2, consid´erons la base B ={e1, e2} avec e1 = (1,1), e2 = (1,2).

Trouvons une base orthonormale {u1, u2} qui soit proche deB dans le sens suivant: e1 etu1 engendrent la mˆeme droite. Trouvons λ de sorte que u1 =λe1 et ku1k= 1. Observons que ke1k=√

2.

kλe1k= 1⇔λ= 1

√2 ouλ = −1

√2 Prenons par exemple

u1 = 1

ke1ke1 = 1

√2(1,1) Trouvons maintenant u2 de sorte que

hu1, u2i= 0 et ku2k= 1 Ecrivons u2 =λe2+αu1. Alors

hu2, u1i= 0 ⇔λhe2, u1i+αku1k2 = 0 Donc on d´eduit que

α=−λhe2, u1i= −3λ

√2 Maintenant

u2 =λ(e2− he2, u1iu1) = λ

2(−1,1)

(5)

Posons u02 = e2 − he2, u1iu1 = 1

2(−1,1), alors u2 = λu02 et comme ku2k= 1, il faut avoir |λ|= 1

ku02k. Donc on a deux choix pour λ, λ = 1

ku02k ou λ= −1 ku02k.

Ainsi, nous avons deux choix pour u2. Les deux choix possibles sont u2 =

√2

2 (−1,1), ou u2 = −√ 2

2 (−1,1).

Dans la suite, on va g´en´eraliser l’exemple ´el´ementaire ci-dessus, et im- poser plus de conditions pour avoir une unique base orthonormale as- soci´ee `a une base donn´ee. La proc´edure qu’on suit ici est dˆue `a Gram et Schmidt.

Th´eor`eme 2.2. Proc´ed´e d’Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soit B = {e1, . . . , en} une base de E. Alors il existe une unique base or- thonormale {u1, . . . , un} de E v´erifiant les conditions suivantes:

(i) Pour tout i, Vec{u1, . . . ,ui}= Vec{e1, . . . ,ei}.

(ii) Pour tout i∈ {1, . . . , n}, hui, eii>0.

Preuve. Construisons{u1, . . . , un}par r´ecurrence. Pouru1, il faut trou- ver λ de sorte que kλe1k= 1 et hu1, e1i>0. Il est clair que λ= 1

ke1k. Donc on pose u1 = e1

ke1k.

Supposons qu’on a construit une famille orthonormale {u1, . . . , ur}, r < n, qui v´erifie les conditions (i) et (ii) du th´eor`eme, et que cette famille est unique. Construisons ur+1. On doit avoir

ur+1 =λer+1+

r

X

k=1

λ0kek, λ, λ0k ∈R, avec

hur+1, uii= 0, ∀1≤i≤r; hur+1, er+1i>0; kur+1k= 1

D’apr`es la condition (i) du th´eor`eme, il existe des r´eels λ1, . . . , λr tel que Pr

k=1λ0kek =Pr

k=1λkuk. Donc ur+1 =λer+1+

r

X

k=1

λkuk.

Soit i∈ {1, . . . , r} fix´e. Alors

hur+1, uii= 0 ⇔λher+1, uii+

r

X

k=1

λkhuk, uii= 0 Comme la famille {u1, . . . , ur}est orthonormale, on obtient

hur+1, uii= 0⇔λi =−λher+1, uii

(6)

Ainsi,

ur+1 =λ(er+1

r

X

k=1

her+1, ukiuk) Posonsu0r+1=er+1−Pr

k=1her+1, ukiuk. Les deux conditions qui restent

`

a satisfaire sont

kλu0r+1k= 1, hur+1, er+1i>0 On d´eduit donc que|λ|= 1

ku0r+1k, et le signe de λ est d´etermin´e par la propri´et´e hur+1, er+1i>0. On a

1 = hur+1, ur+1i=hur+1, λer+1i −λ

r

X

k=1

her+1, ukihur+1, uki

Or, ur+1 est orthogonal `auk pour toutk ≤r. Donc 1 =λhur+1, er+1i,

par suite, λ >0. Ainsi, on a construit ur+1 et il est unique.

Ceci montre l’existence et l’unicit´e de la famille {u1, . . . , un}.

R´esum´e de la m´ethode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

De la preuve ci-dessus, on d´eduit les ´etapes suivantes, pour orthonor- maliser une base quelconque de E. Soit B = {e1, . . . , en} une base de E. Construisons son orthonormalis´ee de Gram-Schmidt{u1, . . . , un}.

Etape 1. Posonsu1 = e1

ke1k Etape 2. Posons

u02 =e2− he2, u1iu1, u2 = u02 ku02k Supposons qu’on a construit {u1, . . . , ur}.

Etape r+1. Posons u0r+1 =er+1

r

X

k=1

her+1, ukiuk, ur+1 = u0r+1 ku0r+1k

3. Adjoint d’un endomorphisme Soit B ={e1, . . . , en} une base orthonormale de E.

Th´eor`eme 3.1. Soit T : E → E un endomorphisme. Alors il existe un unique endomorphisme T :E →E qui v´erifie

hT x, yi=hx, Tyi, ∀x, y ∈E

(7)

Preuve. Soit x∈E. Alors on a hT x, yi=hT(

n

X

i=1

hx, eiiei), yi

=

n

X

i=1

hx, eiihT ei, yi

=

n

X

i=1

hx,hT ei, yieii

=hx,

n

X

i=1

hT ei, yieii PosonsTy=Pn

i=1hT ei, yiei, alors de la bilin´earit´e du produit scalaire on d´eduit queT ∈ L(E). De plus, pour tous x, y ∈E, on a

hT x, yi=hx, Tyi

Pour l’unicit´e, supposons qu’il existe S ∈ L(E) qui v´erifie hT x, yi = hx, Syipour tousx, y ∈E. Alorshx, Syi=hx, Tyipour tousx, y ∈E.

Fixons y ∈ E. Alors, hx,(S −T)yi = 0 pour tout x ∈ E. Comme le produit scalaire est une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee, on d´eduit que

Sy =T y.

Vocabulaire. Avec les notations du th´eor`eme ci-dessus, l’endomorphisme T est appel´e adjoint de T.

S´eance du Mardi 14 Avril 2020

Exemples 3.2. 1) L’adjoint de l’endomorphisme identit´e id : E →E est lui mˆeme.

2) Soient u, v ∈E. D´esignons par Tu,v l’application d´efinie par:

Tu,v :E →E, x7→ hx, uiv

AlorsTu,v est lin´eaire. En effet, pour tousα∈Ret pour tousx, y ∈E, on a

Tu,v(αx+y) =hαx+y, uiv

= (αhx, ui+hy, ui)v

=αhx, uiv+hy, uiv

=αTu,v(x) +Tu,v(y)

Dans la preuve du th´eor`eme 3.1, nous avons donn´e une m´ethode g´en´erale qui permet de trouver l’adjoint d’un endomorphisme quelconque de E,

(8)

en utilisant une base orthonormale. Retrouvons l’adjoint de Tu,v, di- rectement. Soient x, y ∈E. Alors

hTu,vx, yi=hhx, uiv, yi

=hx, uihv, yi

=hx,hv, yiui Ainsi, Tu,v (y) = hy, viu=Tv,u(y).

Th´eor`eme 3.3. La matrice de l’adjointT deT dans la base orthonor- male B v´erifie

M(T, B) =M(T, B)t. Preuve. Comme B est une base orthonormale, alors (4) Tej =

n

X

i=1

hTej, eiiei et T ej =

n

X

i=1

hT ej, eiiei

Utilisons maintenant la d´efinition de l’adjoint pour la premi`ere relation dans (4), on d´eduit

Tej =

n

X

i=1

hej, T eiiei Donc la ji`eme colonne de M(T, B) est

hT e1, eji ... hT en, eji

D’autre part, de la seconde relation de (4), on d´eduit que La ji`eme colonne de M(T, B) est

hT ej, e1i ... hT ej, eni

Par suite, la i`eme ligne deM(T, B) est

(hT e1, eii, . . . ,hT en, eii).

Ainsi, M(T, B) = M(T, B)t.

Dans la proposition qui suit, nous donnons les propri´et´es basiques v´erifi´ees par l’adjoint d’un endomorphisme. Nous utiliserons la nota- tion (T) =T∗∗ pour toutT ∈ L(E).

Proposition 3.4. Soient T, S ∈ L(E). Alors on a les assertions suiv- antes:

(i) Pour tous α, β ∈R, (αT +βS) =αT +βS . (ii) Pour tous x, y ∈E, hTx, yi=hx, T yi, et T∗∗=T. (iii) KerT = (Im T) et ImT = (KerT).

(iv) (T ◦S) =S◦T

(v) T ∈Aut (E)⇔T ∈Aut(E) et (T−1) = (T)−1.

(9)

(vi) Le polynˆome caract´eristique de T v´erifie PT(X) =PT(X).

(vii) T est diagonalisable si et seulement si T l’est.

Preuve. (i): Soientαetβdeux ´el´ements fix´es deR. Pour tousx, y ∈E, on a

h(αT +βS)x, yi=αhT x, yi+βhSx, yi

=αhx, Tyi+βhx, Syi

=hx,(αT+βS)yi D’o`u, l’assertion (i) est v´erifi´ee.

(ii): On utilise la sym´etrie du produit scalaire. Pour tous x, y ∈E, on ahTy, xi=hy, T xi. Donc d’apr`es l’unicit´e de l’adjoint, on aT∗∗=T. (iii) Soit x∈E. Alors en utilisant le fait que le produit scalaire est une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee et que T∗∗ = T on d´eduit les proposi- tions suivantes:

x∈KerT ⇔Tx= 0

⇔ hTx, yi= 0, ∀y∈E

⇔ hx, T∗∗yi=hx, T yi= 0, ∀y∈E

⇔ hx, zi= 0, ∀z ∈ImT

D’o`u l’´egalit´e KerT = (Im T). Maintenant appliquons cette relation

`

a T, on obtient:

ImT = (Im T)⊥⊥

= ((Im T))⊥

= (KerT∗∗) = (KerT). (iv): Pour tous x, y ∈E, on a

h(T ◦S)x, yi=hSx, Tyi=hx, S◦Tyi.

Donc, d’apr`es l’unicit´e de l’adjoint, on d´eduit que (T ◦S) =S◦T. (v): Appliquons le th´eor`eme 3.3, alors dans la base orthonormale B, on a M(T, B) = M(T, B)t. Or, T est inversible si et seulement si detM(T, B) 6= 0, d’autre part detM(T, B) = det(M(T, B)t), donc T est inversible si et seulement siTest inversible. Supposons maintenant que T est inversible, alors

M(T, B)−1 = (M(T, B)t)−1 = (M(T, B)−1)t=M(T−1, B)t D’o`u,

M((T)−1, B) = (M(T, B))−1 =M(T−1, B)t =M((T−1), B) Ainsi, on a l’´egalit´e (T−1) = (T)−1.

(vi) On sait que si A ∈ Mn(R), alors le polynˆome caract´eristique de A v´erifie PA(X) = PAt(x). Donc en appliquant le Th´eor`eme 3.3, on

(10)

d´eduit que PT(X) =PT(X).

(vii) Cette propri´et´e d´ecoule aussi du th´eor`eme 3.3.

4. Endomorphismes sp´eciaux

Dans tout ce paragraphe, on suppose que B ={e1, . . . , en} est une base orthonormale quelconque de E.

4.1. Endomorphismes orthogonaux et groupe orthogonal.

D´esormais, nous d´esignerons par GL(E) le groupe form´e des automor- phismes de l’espace vectoriel E. Comme E est de dimension finie n, pour tout choix de base de E, nous obtenons un isomorphisme (de groupes) entre GL(E) et le groupe des matrices inversibles d’ordre n, qu’on notera par GL(n,R).

D´efinition 4.1. Soit T un automorphisme de E. On dit que T est orthogonal si T =T−1. L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E est not´e O(E), et est appel´e groupe orthogonal de E.

Exemples 4.2. (1) Il est clair que id∈O(E).

(2) Posons E = R2 et consid´erons l’endomorphisme de E qui corre- spond `a la rotation du plan d’angleθ et de centre O. Sa matrice dans la base canonique de R2 est donn´ee par

A=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

Alors AtA =I2. Donc A correspond `a un endomorphisme orthogonal.

Voir TD, S´erie 4 pour un rappel et plus de d´etails sur les rotations.

Remarques 4.3. 1) O(E) est un groupe. En effet, il suffit de v´erifier que O(E) est un sous groupe de GL(E): id ∈ O(E); si T, S ∈ O(E), T−1 = T ∈ O(E) puisque T∗∗ = T. De plus, (T S)−1 = S−1T−1 = ST, donc T S∈O(E).

2) Soit T ∈ O(E). D’apr`es Th´eor`eme 3.3, T et T ont le mˆeme d´eterminant. Comme T T = id, on d´eduit

det(T T) = 1⇒detT2 = 1 ⇒detT ∈ {−1,1}.

Vocabulaire. L’ensemble

SO(E) = {T ∈O(E) : detT = 1}

est appel´e groupe sp´ecial orthogonal de E.

La proposition suivante d´ecoule directement du th´eor`eme 3.3.

Proposition 4.4. Soit T un endomorphisme de E. Posons M = M(T, B). AlorsT est un endomorphisme orthogonal si et seulement si MtM =In.

Th´eor`eme 4.5. Soit T un endomorphisme de E. Les propri´et´es suiv- antes sont ´equivalentes:

(11)

(i) T ∈O(E).

(ii) Pour tous x, y ∈E, hT x, T yi=hx, yi.

(iii) Pour tout x∈E, kT xk=kxk.

(iv) T B={T e1, . . . , T en} est une base orthonormale de E.

(v) Pour toute base B0 de E, on a

[M(T, B0)]tM(h., .i, B0)M(T, B0) = M(h., .i, B0).

Preuve. (i)⇒(ii): Supposons que (i) est v´erifi´ee, doncT est inversible et T =T−1. Pour tous x, y ∈E, on a

hT x, T yi=hx, TT yi=hx, yi.

(ii) ⇒(iii): Supposons que l’assertion (ii) est v´erifi´ee. Alors pour tout x∈E,

kT xk2 =hT x, T xi=hx, xi=kxk2

(iii) ⇒ (ii): Supposons (iii) et montrons (ii). Soient x, y ∈E. Comme k.k2 est la forme quadratique associ´ee au produit scalaire, on a

hT x, T yi= 1

2(kT x+T yk2− kT xk2− kT yk2)

Par suite, en appliquant le fait que T x+T y = T(x+y) et (iii), on d´eduit que

hT x, T yi= 1

2(kx+yk2− kxk2− kyk2) = hx, yi.

(ii) ⇒ (iv): Supposons que (ii) est v´erifi´ee. On a hT ei, T eji=hei, eji=δij donc T B est une base orthonormale.

(iv) ⇒ (i): Supposons (iv) v´erifi´ee. Fixons x ∈ E, comme B et T B sont des base orthonormales, alors

x=X

j

hx, ejiej, T x=X

j

hT x, T ejiT ej

comme T est lin´eaire, on d´eduit de la premi`ere relation que T x=X

j

hx, ejiT ej Par suite,

hx, eji=hT x, T eji=hx, TT eji, ∀j Ainsi, pour tout y∈E, on a

hx, yi=hx, TT yi D’o`u,TT = id.

(i)⇒(v): PosonsP =PBB0. Alors d’apr`es les formules de changement de base pour les formes bilin´eaires, on a

M(h., .i, B0) = PtM(h., .i, B)P

(12)

Or, B est une base orthonormale, donc M(h., .i, B) = In, par suite M(h., .i, B0) = PtP. D’autre part, on a M(T, B0) = P−1M(T, B)P. Donc M(T, B0)t=PtM(T, B)t(P−1)t. Par suite,

M(T, B0)tM(h., .i, B0) = PtM(T, B)t(P−1)tPtP =PtM(T, B)tP Enfin, comme M(T, B)−1 =M(T, B)t, on obtient

M(T, B0)tM(h., .i, B0)M(T, B0) =PtM(T, B)tP P−1M(T, B)P

=PtP

=M(h., .i, B0)

(v) ⇒ (i): Supposons que B0 = B. Comme M(h., .i) = In, on d´eduit que M(T, B)tM(T, B) = In. D’o`uTT =In.

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[r]

D´ emontrer que f est born´ ee, continue et d´ erivable

X est la variable continue sur [2; 3] dont la loi a pour densit´e de probabilit´e la fonction f... D´eterminer la probabilit´e de chacun des ´ev´enements