On dit que q est d´efinie positive sur E si q(x)>0 pour tout x6= 0

Facult´e des Sciences Universit´e Mohammed V

Alg`ebre V -Ann´ee universitaire 2019-2020 Chapitre 3: Espaces Euclidiens

Cours: Nadia Boudi

Dans tout ce chapitre, E est un espace vectoriel de dimension finie sur R.

1. Notions de base

D´efinition 1.1. Soitq une forme quadratique surE. On dit que q est d´efinie positive sur E si q(x)>0 pour tout x6= 0. La forme polaire f de q est appel´ee produit scalaire associ´e `a q. Dans ce cas, on note f(x, y) :=hx, yi pour tous x, y ∈E et on dit que (E,h., .i) (ou justeE s’il n’y a pas de risque d’ambiguit´e) est un espace euclidien.

Exemples 1.2. (1) Rappelons la structure euclidienne classique deRⁿ (voir TD, S´erie 2):

h(x₁, . . . , x_n),(y₁, . . . , y_n)i=

n

X

i=1

x_iy_i.

(2) Posons E =R3[X]. Soitq :E →Rd´efinie par q(

3

X

i=0

aiXⁱ) =

3

X

i=0

a²_i.

Observons que q est une forme quadratique sur E pour laquelle la base canonique {1, X, X², X³} de E est une base orthonormale. Il est clair que q est d´efinie positive. Cette structure est appel´ee structure euclidienne canonique de E. On peut g´en´eraliser cet exemple `aRⁿ[X], pour tout n∈N^∗.

Th´eor`eme 1.3. (In´egalit´e de Cauchy Schwartz), Soit (E,h., .i) un es- pace euclidien. Alors pour tous x, y ∈E, on a

hx, yi² ≤ hx, xi hy, yi

De plus, on a l’´egalit´e si et seulement si x et y sont colin´eaires.

Preuve. Soit q la forme quadratique associ´ee au produit scalaire de E.

Fixons x, y ∈ E et consid´erons P(t) = q(x +ty) pour tout t ∈ R. Comme h., .i est une forme bilin´eaire sym´etrique, on d´eduit l’´egalit´e

P(t) =t²q(y) + 2thx, yi+q(x)

1

En particulier, P(t) peut ˆetre vu comme un polynˆome en t qui est toujours de signe positif. Donc son discriminant est n´egatif, c’est `a dire

∆ =hx, yi²−q(x)q(y)≤0.

D’o`u l’in´egalit´e. Supposons maintenant que ∆ = 0. Alors il existe t ∈ R tel que q(x+ty) = 0. Autrement dit, x+ty = 0, c’est `a dire x et y doivent ˆetre li´es. La r´eciproque est ´evidente.

Dans un espace euclidien, la notion de produit scalaire nous permet de d´efinir une distance sur E, de parler de longueurs, et de d´efinir une structure g´eom´etrique. Rappelons d’abord la d´efinition suivante de norme qui g´en´eralise les concepts de valeur absolue surRet de module sur C:

D´efinition 1.4. Soit F un espace vectoriel sur K o`u K = R ou C. Soit N :F →R⁺ une application. On dit que N est une norme sur F si pour tous x, y ∈F, pour tout λ∈K, on a :

(i) N(x) = 0 si, et seulement si x= 0, (ii) N(λx) =|λ|N(x),

(iii) N(x+y)≤N(x) +N(y) (In´egalit´e triangulaire).

Lemme 1.5. Supposons que (E,h., .i) est un espace euclidien. Pour tout x ∈ E, posons N(x) = p

hx, xi, alors N est une norme sur E.

Elle est dite norme euclidienne associ´ee au produit scalaire de E.

Preuve. Soit x ∈ E avec x 6= 0. Alors hx, xi > 0, donc N est bien d´efinie et N(x) 6= 0. La condition (i) pour la d´efinition de norme est clairement v´erifi´ee.

Soit λ∈R alors

N(λx) =p

hλx, λxi=|λ|p

hx, xi=|λ|N(x).

Donc la condition (ii) est v´erifi´ee. Enfin, pour (iii), utilisons encore une fois la bilin´earit´e du produit scalaire et appliquons l’in´egalit´e de Cauchy -Schwartz, on obtient:

N(x+y)² ≤N(x)²+N(y)²+ 2N(x)N(y) = (N(x) +N(y))²

D’o`u la conclusion d´esir´ee.

S´eance du Mardi 31 Mars 2020

Une caract´eristique importante des espaces euclidiens est l’absence des

´

el´ements isotropes. Dans la suite de ce premier paragraphe, nous ex- ploitons cette propri´et´e et nous d´eduisons des r´esultats importants.

Ainsi, le lemme 3.14 du chapitre 2 devient

Lemme 1.6. Soit B ={u₁, . . . , u_r} une famille orthogonale telle que ui 6= 0 pour tout 1≤i≤r, alors la famille B est libre.

Notation. Si E est un espace euclidien, on note par k.k la norme associ´ee au produit scalaire de E. Ainsi, pour toutx∈E, on a

kxk=p hx, xi.

Remarque 1.7. On sait que siE est muni d’une forme quadratiqueq, alors tout sous espace vectoriel H de E est naturellement muni d’une forme quadratique de mani`ere naturelle. En particulier, si E est un espace euclidien, tout sous espace vectoriel est un espace euclidien via le produit scalaire induit.

Th´eor`eme 1.8. Supposons que E est un espace euclidien. Alors on a les assertions suivantes:

(1) E admet une base orthonormale.

(2) Si H est un sous espace vectoriel de E, alors H ⊕ H^⊥ = E et H^⊥⊥ =H.

(3) Toute famille orthonormale de E est libre et peut ˆetre compl´et´ee en une base orthonormale de E.

Preuve. D´esignons parqla forme quadratique associ´ee au produit scalaire de E, q(x) =hx, xi.

(i) D’apr`es le chapitre pr´ec´edent, on sait qu’il existe une base orthog- onale B ={e<sub>1</sub>, . . . , e<sub>n</sub>} de E associ´ee `aq. On aq(x) = kxk² pour tout x et q(ei)6= 0 pour tout i. Posons ui = e_i

ke_ik. Alors ku_ik= 1 =hu_i, u_ii

En particulier, {u₁, . . . , u_n}est une base orthonormale de E.

(ii) La forme quadratique induite sur H est non d´eg´en´er´ee, puisque N(q |_H) ⊆ C(q |_H), et on sait que C(q |_H) = {0}. Donc d’apr`es le chapitre 2, H⊕H^⊥ = E. D’autre part, comme q est non d´eg´en´er´ee, en utilisant encore une fois le chapitre 2, on d´eduit que, H^⊥⊥=H.

(iii) SoitB1 une famille orthonormale deE. Alors tous les vecteurs qui la constituent sont non nuls et donc d’apr`es le lemme 1.6,B1 est libre.

Posons H = Vec(B₁) et soit B₂ une base orthonormale de l’espace euclidien H^⊥. Alors d’apr`es (ii), H⊕H^⊥ = E. Donc il est clair que

B₁∪B₂ est une base orthonormale de E.

2. Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Dans toute la suite de ce chapitre, on suppose que E est un espace euclidien.

Soient B = {e₁, . . . , e_n} une base orthonormale de E et soit x ∈ E.

Ecrivons x=Pn

i=1x_ie_i. Alors x_i =hx, e_ii. Donc

(1) x=

n

X

i=1

hx, e_iie_i

Ainsi, si x, y ∈E, on a

(2) hx, yi=

n

X

i=1

hx, e_iihy, e_ii

En particulier,

(3) kxk² =

n

X

i=1

hx, e_ii²

N.B. Il est facile de v´erifier les ´equations (2) et (3). N´eanmoins, les d´etails seront donn´es avec le corrig´e de la S´erie 4 de TD.

Exercice ´elementaire. DansR², trouver les coordonn´ees de (5,−12) dans la base B ={(9

5,1),(−3, 6 13)}.

Il est clair que dans l’exercice ci-dessus, la base B n’est pas orthonor- male. Donc vous ne pouvez pas utiliser la formule (1) pour calculer les coordonn´ees et il faut y aller directement. En particulier, vous r´ealiserez qu’il est beaucoup plus facile de calculer les coordonn´ees dans une base orthonormale qu’une base quelconque (voir aussi TD, S´erie 4). Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’associer `a chaque base de E une base orthonormale, qui lui soit proche dans un certain sens.

Exemple 2.1. Dans R², consid´erons la base B ={e1, e2} avec e₁ = (1,1), e₂ = (1,2).

Trouvons une base orthonormale {u₁, u₂} qui soit proche deB dans le sens suivant: e₁ etu₁ engendrent la mˆeme droite. Trouvons λ de sorte que u₁ =λe₁ et ku₁k= 1. Observons que ke₁k=√

2.

kλe₁k= 1⇔λ= 1

√2 ouλ = −1

√2 Prenons par exemple

u1 = 1

ke₁ke1 = 1

√2(1,1) Trouvons maintenant u₂ de sorte que

hu₁, u₂i= 0 et ku₂k= 1 Ecrivons u₂ =λe₂+αu₁. Alors

hu₂, u₁i= 0 ⇔λhe₂, u₁i+αku₁k² = 0 Donc on d´eduit que

α=−λhe2, u1i= −3λ

√2 Maintenant

u₂ =λ(e₂− he₂, u₁iu₁) = λ

2(−1,1)

Posons u⁰₂ = e₂ − he₂, u₁iu₁ = 1

2(−1,1), alors u₂ = λu⁰₂ et comme ku₂k= 1, il faut avoir |λ|= 1

ku⁰₂k. Donc on a deux choix pour λ, λ = 1

ku⁰₂k ou λ= −1 ku⁰₂k.

Ainsi, nous avons deux choix pour u₂. Les deux choix possibles sont u₂ =

√2

2 (−1,1), ou u₂ = −√ 2

2 (−1,1).

Dans la suite, on va g´en´eraliser l’exemple ´el´ementaire ci-dessus, et im- poser plus de conditions pour avoir une unique base orthonormale as- soci´ee `a une base donn´ee. La proc´edure qu’on suit ici est dˆue `a Gram et Schmidt.

Th´eor`eme 2.2. Proc´ed´e d’Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Soit B = {e₁, . . . , e_n} une base de E. Alors il existe une unique base or- thonormale {u₁, . . . , u_n} de E v´erifiant les conditions suivantes:

(i) Pour tout i, Vec{u₁, . . . ,u_i}= Vec{e₁, . . . ,e_i}.

(ii) Pour tout i∈ {1, . . . , n}, hu_i, e_ii>0.

Preuve. Construisons{u₁, . . . , u_n}par r´ecurrence. Pouru₁, il faut trou- ver λ de sorte que kλe₁k= 1 et hu₁, e₁i>0. Il est clair que λ= 1

ke₁k. Donc on pose u1 = e₁

ke₁k.

Supposons qu’on a construit une famille orthonormale {u₁, . . . , u_r}, r < n, qui v´erifie les conditions (i) et (ii) du th´eor`eme, et que cette famille est unique. Construisons u_r+1. On doit avoir

ur+1 =λer+1+

r

X

k=1

λ⁰_kek, λ, λ⁰_k ∈R, avec

hu_r+1, u_ii= 0, ∀1≤i≤r; hu_r+1, e_r+1i>0; ku_r+1k= 1

D’apr`es la condition (i) du th´eor`eme, il existe des r´eels λ₁, . . . , λ_r tel que Pr

k=1λ⁰_ke_k =Pr

k=1λ_ku_k. Donc u_r+1 =λe_r+1+

r

X

k=1

λ_ku_k.

Soit i∈ {1, . . . , r} fix´e. Alors

hur+1, uii= 0 ⇔λher+1, uii+

r

X

k=1

λkhuk, uii= 0 Comme la famille {u₁, . . . , u_r}est orthonormale, on obtient

hur+1, uii= 0⇔λi =−λher+1, uii

Ainsi,

u_r+1 =λ(e_r+1−

r

X

k=1

he_r+1, u_kiu_k) Posonsu⁰_r+1=e_r+1−Pr

k=1he_r+1, u_kiu_k. Les deux conditions qui restent

`

a satisfaire sont

kλu⁰_r+1k= 1, hu_r+1, e_r+1i>0 On d´eduit donc que|λ|= 1

ku⁰_r+1k, et le signe de λ est d´etermin´e par la propri´et´e hu_r+1, e_r+1i>0. On a

1 = hu_r+1, u_r+1i=hu_r+1, λe_r+1i −λ

r

X

k=1

he_r+1, u_kihu_r+1, u_ki

Or, u_r+1 est orthogonal `au_k pour toutk ≤r. Donc 1 =λhu_r+1, e_r+1i,

par suite, λ >0. Ainsi, on a construit u_r+1 et il est unique.

Ceci montre l’existence et l’unicit´e de la famille {u₁, . . . , u_n}.

R´esum´e de la m´ethode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

De la preuve ci-dessus, on d´eduit les ´etapes suivantes, pour orthonor- maliser une base quelconque de E. Soit B = {e₁, . . . , e_n} une base de E. Construisons son orthonormalis´ee de Gram-Schmidt{u₁, . . . , u_n}.

Etape 1. Posonsu1 = e1

ke₁k Etape 2. Posons

u⁰₂ =e₂− he₂, u₁iu₁, u₂ = u⁰₂ ku⁰₂k Supposons qu’on a construit {u₁, . . . , u_r}.

Etape r+1. Posons u⁰_r+1 =e_r+1−

r

X

k=1

he_r+1, u_kiu_k, u_r+1 = u⁰_r+1 ku⁰_r+1k

3. Adjoint d’un endomorphisme Soit B ={e₁, . . . , e_n} une base orthonormale de E.

Th´eor`eme 3.1. Soit T : E → E un endomorphisme. Alors il existe un unique endomorphisme T^∗ :E →E qui v´erifie

hT x, yi=hx, T^∗yi, ∀x, y ∈E

Preuve. Soit x∈E. Alors on a hT x, yi=hT(

n

X

i=1

hx, e_iie_i), yi

=

n

X

i=1

hx, eiihT ei, yi

=

n

X

i=1

hx,hT e_i, yie_ii

=hx,

n

X

i=1

hT e_i, yie_ii PosonsT^∗y=Pn

i=1hT e_i, yie_i, alors de la bilin´earit´e du produit scalaire on d´eduit queT^∗ ∈ L(E). De plus, pour tous x, y ∈E, on a

hT x, yi=hx, T^∗yi

Pour l’unicit´e, supposons qu’il existe S ∈ L(E) qui v´erifie hT x, yi = hx, Syipour tousx, y ∈E. Alorshx, Syi=hx, T^∗yipour tousx, y ∈E.

Fixons y ∈ E. Alors, hx,(S −T)yi = 0 pour tout x ∈ E. Comme le produit scalaire est une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee, on d´eduit que

Sy =T y.

Vocabulaire. Avec les notations du th´eor`eme ci-dessus, l’endomorphisme T^∗ est appel´e adjoint de T.