On va g´en´eraliser ` a une vari´et´e riemannienne la notion connue de laplacien sur un ouvert Ω d’un espace euclidien E, d´efinie par

YVES DE CORNULIER

1. D´ efinition du laplacien

On va g´en´eraliser ` a une vari´et´e riemannienne la notion connue de laplacien sur un ouvert Ω d’un espace euclidien E, d´efinie par

4 = − X ∂ ²

∂x ² _i (C

(Ω) → C

(Ω)) On peut ´ecrire 4 = − div grad, avec divf = P ∂f

∂x

: C

(Ω, E) → C

(Ω).

On va d´efinir la notion analogue sur les vari´et´es riemanniennes. D´ej` a, on sait que le gradient y est bien d´efini. D’autre part, rappelons que, sur une vari´et´e riemannienne M de dimension n orient´ee, il existe une forme volume canonique : c’est la section du fibr´e V n T

M qui en x ∈ M vaut 1 sur toute base orthonorm´ee directe de T x M. Si M est maintenant quelconque (i.e. pas forc´ement orient´ee), on peut choisir localement une orientation, et donc une forme volume locale, unique au signe pr`es. Rappelons aussi la notion de produit int´erieur d’un champ de vecteur ξ par une forme diff´erentielle ω de degr´e n : c’est la forme diff´erentielle de degr´e n − 1

(ξ y ω)(x 1 , . . . , x n

1 ) = ω(ξ, x 1 , . . . , x n

1 ) La divergence du champ de vecteurs ξ est alors d´efinie (localement) par :

d(ξ y ω) = divξ.ω

o` u ω est une forme volume locale. Il est imm´ediat que cette d´efinition ne d´epend pas du choix de ω, et donc d´efinit globalement une fonction scalaire divξ sur ω.

On v´erifie l’´egalit´e

div(f ξ) = f.divξ + df(ξ) On voit que divξ est la trace de l’endomorphisme X 7→ ∇ X ξ.

L’op´erateur correspondant ` a la divergence sur les diff´erentielles de degr´e 1 se note − δ. On peut alors d´efinir le laplacien comme l’op´erateur sur C

(M)

4 = δd = − div grad

Passons au calcul en coordonn´ees locales : la m´etrique est donnn´ee par la matrice (g ij ), et soit θ = p

det(g ij ). Alors divξ = θ

¹ P

i

∂(θ.ξ

)

∂x

. Si (g ^ij ) est la matrice inverse de (g ij ), alors le laplacien s’´ecrit

4 f = − θ

¹ X

i,j

∂(θ.g ^{ij ∂f} _∂x

)

∂x ⁱ

Le laplacien est un op´erateur diff´erentiel du second ordre, sa partie homog`ene du second ordre s’´ecrivant :

σ = − X

i,j

g ^ij ∂ ² f

∂x ⁱ ∂x ^j

C’est une forme quadratique d´efinie n´egative, et on dit alors que le laplacien est un op´erateur diff´erentiel elliptique du second ordre.

Le laplacien satisfait ` a l’´egalit´e

4 f g = f 4 g − 2 h f, g i + g 4 f

Date : avril 2003 ; derni` ere r´ evision 1

mars 2004.

1

Consid´erons, en m ∈ M, un rep`ere orthonorm´e (x i ) de T m M, et soient (γ i (t)) les g´eod´esiques correspondantes. Alors

4 f (m) = − X

i

(f ◦ γ i )

(0)

Si M est compacte, alors les op´erateurs grad et − div sont adjoints : en effet Z

M

( h gradf, ξ i + h f, divξ i ) = Z

M

(div(f ξ)) = 0 grˆ ace au

Lemme 1.1. Si M est une vari´et´e et χ un champ de vecteurs ` a support compact, alors R

M divχ = 0.

D’abord, si M est orientable, il existe une forme volume globale ω, et R

M divχ = R

M grad(χ y ω)ω = 0 par Stokes. Si M n’est pas orientable, son fibr´e d’orientation est un revˆetement orientable M f ` a deux feuillets, et on obtient le r´esultat en remontant ` a M f .

2. Spectre du laplacien

On appelle fonction harmonique une fonction de laplacien nul. Les fonctions harmoniques satis- font au principe du maximum. En particulier, Si M est compacte, alors toute fonction harmonique est constante.

Pour M compacte, les op´erateurs grad et − div ´etant adjoints, on a les ´egalit´es h4 f, g i = h f, 4 g i , h4 f, f i = k gradf k ²

Donc, sur une vari´et´e compacte, le laplacien est un op´erateur auto-adjoint positif, d´efini-positif sur l’orthogonal de 1, i.e. sur les fonctions de moyenne nulle. En particulier, ses valeurs propres sont dans R ₊ .

Les propri´et´es spectrales vont se d´eduire du fait que le laplacien d’une vari´et´e compacte se com- porte essentiellement comme l’inverse d’un op´erateur compact. On arrive au r´esultat que l’ensemble des valeurs propres peut s’´ecrire comme une suite tendant vers l’infini, o` u chaque valeur apparaˆıt au- tant de fois que sa multiplicit´e (forc´ement finie) : Spec(M) = { 0 = λ 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ · · · ≤ λ k ≤ . . . } , et L <sup>2</sup> (M ) est ´egal ` a la somme hilbertienne des sous-espaces propres.

Soit φ ∈ L ² (M). On d´efinit un op´erateur T : L ² (M) → H ¹ (M) comme ceci : la forme lin´eaire η → h η, φ i est continue pour la norme L ² (M ), donc a fortiori pour la norme H ¹ (M). Donc il existe un unique ψ = T (φ) tel que pour tout η ∈ H ¹ (M ),

h φ, η i = h ψ, η i + h gradψ, gradη i

On v´erifie alors que (1 + 4 )T φ = φ, pour tout φ ∈ L ² (M). On a alors besoin du

Lemme 2.1 (de r´egularisation) . Si g ∈ H ^s (M) et 4 f = g au sens des distributions, alors f ∈ H ^s+2 (M).

Ce lemme est valable dans un cadre plus g´en´eral, et est une cons´equence de l’ellipticit´e du laplacien. On en d´eduit que T envoie en fait L ² (M ) = H ⁰ (M ) vers H ² (M ).

Par ailleurs, on voit, par densit´e, que si f ∈ H ² (M ) et g ∈ H ¹ (M), alors Z

M

h gradf, gradg i = Z

M

4 f g

On peut alors appliquer cela ` a f = g = T φ, et on obtient directement l’in´egalit´e k T φ k ² H

(M ) ≤ k φ kk T φ k

d’o` u

k T φ k H

(M) ≤ k φ k

Ainsi, φ est un op´erateur continu de (L ² (M ), k · k ) vers (H ¹ (M ), k · k H

(M ) ) Comme, de plus, l’injection de (H ¹ (M ), k · k H

(M) ) dans (L ² (M), k · k ) est compacte (th´eor`eme de Rellich), T est un op´erateur compact de L ² (M) vers lui-mˆeme. De plus, T est auto-adjoint positif, et injectif.

Donc il existe une base orthonormale de L ² (M) de vecteurs propres de T . Ce sont clairement

aussi des vecteurs propres pour le laplacien, donc, ` a nouveau par le lemme de r´egularisation, ils

sont dans H ^s (M) pour tout s ∈ N , et donc ils sont C

, en utilisant le lemme de Sobolev :

H ⁽ s + 1 + E(n/2))(M ) ⊂ C ^s (M), o` u n est la dimension de M .

Le spectre d’une vari´et´e riemannienne est un invariant important, difficile ` a calculer en g´en´eral.

Mentionnons le probl`eme inverse : une vari´et´e riemannienne est-elle d´etermin´ee, ` a isom´etrie pr`es, par son spectre ? La r´eponse est n´egative.

3. Laplacien sur les tores

Commen¸cons par un exemple tr`es simple : R /2πr Z . D’abord on regarde sur R (non compact).

Notons D la d´erivation : 4 = − D ² . Pour tout λ, le noyau − D ² _λ est de dimension 2 : ce sont les solutions de l’´equation diff´erentielle u” + λu = 0. Pour λ = − a ² < 0, une base des solutions est (t 7→ e ^at , t 7→ e

^at ). Les solutions non nulles sont non born´ees, donc non p´eriodiques. Si λ = 0, les solutions sont les fonctions affines, celles qui sont constantes sont p´eriodiques. Si λ = a ² > 0, une base des solutions est (t 7→ cos(at), t 7→ sin(at)). Les solutions non nulles sont de p´eriode minimale a. On d´eduit de tout ¸ca :

Spec( R /2πr Z ) = { 0, 1 r ² , 1

r ² , 4 r ² , 4

r ² , 9 r ² , . . . }

On arrive ` a un r´esultat analogue dans le cas d’un tore E/2πΓ, E euclidien et Γ r´eseau de E. Il est confortable de regarder des fonctions ` a valeurs complexes. Soit l ∈ E

et u l (x) = e ^il(x) , x ∈ E.

Un calcul direct donne 4 u l = k l k ² u l . On voit imm´ediatement que u l est 2πΓ-p´eriodique si et seulement si l ∈ Γ

= { l

∈ E

, l

(Γ) ⊂ Z } , le r´eseau dual de Γ. La famille des u l , l ∈ Γ

´etant stable par multiplication, l’espace vectoriel qu’elle engendre est une alg`ebre, qui, grˆ ace au th´eor`eme de Stone-Weierstrass, est dense dans L ² (E/2πΓ). On a donc trouv´e une famille orthonormale de vecteurs propres du laplacien, et Spec(E/2πΓ) est ´egal ` a

{k l k ² , l ∈ Γ

} (Γ

index´e de fa¸con que les normes croissent) On a l’´equivalence, quand k → ∞ : λ k = ( _V ¹

n

Vol(Γ) k)

, o` u V n est le volume de la boule unit´e d’un espace euclidien de dimension n, Vol(Γ) le volume de E/Γ, et 0 = λ 0 < λ 1 ≤ . . . le spectre ordonn´e et tenant compte des multiplicit´es.

Mentionnons l’exemple de Milnor de tores isospectraux non isom´etriques en dimension 16. Soit Γ(n) le r´eseau de R ⁿ engendr´e par { (x 1 , . . . , x n ) ∈ Z ⁿ , P

x i ∈ 2 Z } et ( ¹ ₂ , . . . , ¹ ₂ ). Ses propri´et´es

´el´ementaires sont donn´ees en exercice : Exercice 3.1.

– Si n est pair, Vol(Γ(n)) = 1.

– Si n ∈ 8 Z , alors, pour tout y ∈ Γ(n), k y k ² ∈ 2 Z , et Γ(n)

= Γ(n).

– Γ(8) est engendr´e par ses ´el´ements de norme √ 2.

– Γ(16) n’est pas engendr´e par ses ´el´ements de norme √ 2.

– Γ(8) × Γ(8) et Γ(16) sont non isom´etriques.

On montre que deux r´eseaux de dimension 8, 12, 16, ou 20 v´erifiant les conditions k y k ² ∈ 2 Z , y ∈ Γ, et Γ

= Γ sont isospectraux. Donc Γ(8) × Γ(8) et Γ(16) sont isospectraux bien que non isom´etriques.

A l’aide de ce qui pr´ec`ede, des tores isospectraux de dimension 8 ont ´et´e rapidement construits ` apr`es l’exemple de Milnor. R´ecemment (Schiemann, 1990), on en a trouv´e de dimension 4. D’autre part, il est connu depuis longtemps que les tores sont d´etermin´es par leur spectre en dimension 2 (le v´erifier en exercice). Le mˆeme r´esultat est vrai, mais autrement plus difficile pour des tores de dimension 3 (Schiemann, 1997).

4. Laplacien sur les sph` eres Soit S ⁿ = { (x 0 , . . . , x n ) ∈ R ⁿ⁺¹ , P

x ² _i = 1 } . On rappelle (mais on n’en aura pas besoin), que S ⁿ est l’unique (` a isom´etrie pr`es) vari´et´e riemannienne compl`ete simplement connexe ` a courbure constante 1. On aura besoin de

Lemme 4.1. Soit Ω ⊂ R ⁿ⁺¹ un ouvert contenant S ⁿ . On note, si f est d´efinie sur Ω, f e sa restriction ` a S ⁿ . Alors, si f est C ² , on a

4 f e = g 4 f + ∂ g ² f

∂r ² + n ∂f f

∂r

On applique cette formule si P = P (X 0 , . . . , X n ) est un polynˆ ome homog`ene de degr´e k har- monique. On obtient imm´ediatement que P e est une fonction propre pour le laplacien de la sph`ere, pour la valeur propre k(k + n − 1).

On note P k l’ensemble des polynˆ omes homog`enes de degr´e k sur R ⁿ⁺¹ , et H k l’ensemble des polynˆ omes harmoniques de P k .

Proposition 4.2. Pour tout k ≥ 0 on a – P 2k = H 2k ⊕ r ² H 2k

2 ⊕ · · · ⊕ r ^2k H 0

– P 2k+1 = H 2k+1 ⊕ r ² H 2k

1 ⊕ · · · ⊕ r ^2k H 1

Avant de prouver cette proposition, d´eduisons-en

Th´ eor` eme 4.3. Le spectre de S <sup>n</sup> , (n ≥ 1) est l’ensemble des µ k = k(k + n − 1), et le sous-espace propre associ´e ` a λ k est H f k .

En effet, la proposition donne, en restreignant ` a la sph`ere : – P g 2k = H g 2k ⊕ H ^ 2k

2 ⊕ · · · ⊕ H f 0

– P ^ ^2k+1 = H ^ ^2k+1 ⊕ H ^ ^2k

¹ ⊕ · · · ⊕ H f ¹

Or, par Stone-Weierstrass, on sait que L f P k est dense dans L ² (S ⁿ ). Comme les relation ci-dessus

´etablissent L f P k = L f H k , ce dernier est aussi dense. Par cons´equent on a obtenu tout le spectre.

Prouvons la proposition par r´ecurrence. Il faut montrer que si P e est un ´el´ement de P ] k+2 or- thogonal ` a P f k , alors P est harmonique. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il suffit de montrer que 4 g P est orthogonal ` a tous les H ^ k

2l . Soit donc H ∈ H k

2l . Comme P est homog`ene, on peut ´ecrire 4 P e = 4 g P + λ P e ; on ´ecrit aussi 4 H e = µ H. On a e

0 = Z

S

4 ( P H) = g Z

S

4 P . e H e + 2 Z

S

h grad P , e grad H e i + Z

S

P e 4 H e soit 0 =

Z

S

4 P . e H e − Z

S

P e 4 H e par la propri´et´e d’adjonction, soit encore

0 = Z

S

4 g P . H e − λ Z

S

P e H e + µ Z

S

P e H e = Z

S

4 g P . H e

puisque P e et H e sont orthogonaux.

Remarque 4.4. La dimension de P k est n + k

n

, et on en d´eduit que celle de H k est

k + n − 1 n − 1

2k+n+1 k+n+1 . Si le spectre est donn´e par la suite croissante 0 = λ 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ . . . , alors on a l’´equivalence, pour k → ∞ : λ k ∼ ( ^n! ₂ k)

.

Le comportement est tr`es diff´erent sur les vari´et´es non compactes. Par exemple, sur R , tout nombre complexe est valeur propre du laplacien. Il en est de mˆeme sur le demi-plan de Poincar´e H , o` u le laplacien est donn´e par 4 = − y ² ( _∂x ^∂

+ _∂y ^∂

) : si λ = s(1 − s), alors f (x + iy) = y ^s + y ¹

^s est fonction propre pour λ.

Par contre, la th´eorie est essentiellement la mˆeme si on regarde, sur une vari´et´e riemannienne ` a bord, les fonctions nulles au bord : par exemple un ouvert born´e d’un espace affine.

5. N’importe quoi

Le laplacien est donn´e (sauf erreur de calcul) sur le disque hyperbolique par : 4 = − (1 − z¯ z) ² _∂z ^∂ _∂ ^∂ _{z ¯} Comme une fonction propre du laplacien est forc´ement analytique, elle s’´ecrit, au voisinage de 0 :

u(z) = X

p,q

a p,q z ^p z ¯ ^q

o` u (p, q) parcourt N ² (mais on l’´etend sur Z ² en posant a p,q = 0 si (p, q) ∈ / N ² ). L’´equation

4 u = λu

donne la relation de r´ecurrence

pqa p,q = (2(p − 1)(q − 1) − λ)a p

1,q

1 − (p − 2)(q − 2)a p

2,q

2

Notons que cette relation de r´ecurrence rend ind´ependantes les droites (p − q = r), r constante.

L’ensemble des a p,q , (p, q) ∈ N ² tels que pq = 0 peut ˆetre choisi arbitrairement (tant qu’on ne se pose pas de probl`eme de convergence) et d´etermine enti`erement la suite (a p,q ). Si on isole une droite, disons p − q = r, on regarde les solutions de la forme u(z) = z ^r U (z z). On trouve que ¯ l’´equation ( 4 u = λu) ´equivaut ` a l’´equation diff´erentielle

(1 − x)(xU

(x) + (r + 1)U

(x)) + λU(x) = 0

Solution : fonction hyperg´eom´etrique F(α, β; 0, 1 − z) ? ? ? ? o` u α + β = r et αβ = − λ.

R´ ef´ erence

Berger M., Gauduchon P., Mazet E. (1971) Le Spectre d’une Vari´et´e Riemannienne. Springer-

Verlag, Lecture Notes in Mathematics 194.