Ω ⊂ R d est un ouvert de dimension d ≥ 2, et

Dénition 1.1. Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation impliquant

une fontion inonnue

u : Ω → R

, où

Ω ⊂ R ^d

est un ouvert de dimension

d ≥ 2

^{, et}

ses dérivées. En d'autres mots, le problème le plus général de la théorie des équations aux

dérivées partielles est d'étudier les solutions d'une équation de la forme

F (x, Du(x), D ⁽²⁾ u(x), · · · , D ⁽ⁿ⁾ u(x)) = 0 ∀ x ∈ Ω.

Ii lanotation

D ⁽ⁿ⁾ u

^{signie simplementl'ensemble des dérivées partiellesd'ordre}

n

^{. Par}

étudier les solutions onentend plusieurs hoses. Par exemple:

(1) Donner une formuleexpliite pour une solution. Cei est souvent impossible.

(2) Prouverl'existene d'unesolution.

(3) Déider de l'uniitéde la solution. Cei ne sera en généralpossible que sides ondi-

tions supplémentaires sont imposées.

(4) Étudierla stabilitédes solutions.

(5) Étudierla régularité des solutions. Sont-t-elleslisses ?

L'ordre d'uneEDP est l'ordre de la dérivée laplus haute de la fontion inonnue y appa-

raissant. Si la fontion

F

^{est linéaire par rapport à}

u

^{et à ses dérivées, ondit de l'équation}

qu'elle est linéaire.

1.1. Quelques exemples. Danseours,

Ω

^{seratoujoursundomainedel'espaeEulidien}

R ^d

susement régulierpour que la formulede divergene-ux soitvériée

1

.

1.1.1. Équation de Laplae. L'équation de Laplaesur

Ω

^est

∆u = 0.

Une fontion qui vérie ette équation est dite harmonique. Étant donnée une fontion

f : ∂Ω → R

, leproblème de Dirihlet est

∆u = 0

^sur

Ω,

^(1.1)

u = f

^sur

∂Ω.

End'autres mots, onherhe une extensionharmonique d'unefontionpresrite sur lebord

du domaine onsidéré.

L'équationde Laplaeest elliptiqued'ordre deux.

1.1.2. Équation des ondes. Soit

Ω

^{un domaine de}

R ²

. Sur l'ouvert

Ω × (0, ∞ )

^de

R ³

on onsidère une fontion

(t, x) 7→ u(t, x)

^{dont on imagine qu'elle représente le déplaement}

vertialdu point

x ∈ Ω

^autemps

t > 0

^{. L'équation des ondes est}

∂ tt u = ∆u.

Si on pense à

Ω

^{omme à la membrane d'un tambour, ilest naturel d'imposer la ondition}

aubord

u(t, x) = 0

^pour

x ∈ ∂Ω.

1

VoirExerie1.

initialeet une vitesse initiale

u(0, x) = f (x)

^pour

x ∈ Ω,

^(1.2)

u t (0, x) = g(x)

^pour

x ∈ Ω.

^(1.3)

L'équationdes ondes est hyperbolique d'ordredeux.

1.1.3. Équation de la haleur et de la diusion. Cette fois, on pense audomaine

Ω

^{en tant}

qu'un milieu oùun produit himique se propage. Pensez par exemple à une goutte d'enre

dans de l'eau. Une onentration initiale

f : Ω → R

est donnée. L'évolution dans le temps est alors presrite par l'équationde lahaleur :

∂ t u = ∆u.

^(1.4)

Cette fois enore, pour que la solution soit déterminée, il faudra donner une ondition au

bord. Par exemple, si on imagine que la diusion à lieu dans une région hermétique, on

imposera

u(x, t) = 0

^{pour haque}

x ∈ ∂Ω

^{et haque}

t

^{. L'équation (1.4) est aussi un modèle}

pour la propagationde lahaleur. Dans e as, lafontion

u

^{représente la} température.

L'équationde lahaleurest paraboliqued'ordre deux.

1.1.4. Équations de CauhyRiemann. Soit

Ω ⊂ C

un ouvert. Une fontion

f = u + iv : Ω → C

estditeanalytiquesipourhaquepoint

p ∈ Ω

^{,ilexisteuneboule}

B(p, r) ⊂ Ω

^où

f

^s'exprime

par une série entière :

f(z) =

∞

X

k=0

c k (z − p) ^k .

La fontion

f

^{est analytique si etseulement sielle vérie les équationsde} Cauhy-Riemann

u _x = v _y , u y = − v x .

Ces équations formentun système d'EDPd'ordre un.

1.1.5. Surfaes minimales. Soit

Ω ⊂ R ²

un domaineborné. L'aire du graphed'unefontion

f ∈ C ^∞ (Ω)

^{est donnée par}

A(f ) :=

Z

Ω

q

1 + f _x ² + f _y ² .

Étant donné une fontion

g : ∂Ω → R

on herhe parmi les fontions

f : Ω → R

qui sont égalesà

g

^sur

∂Ω

^{unefontiondontlegrapheest d'aireminimale. Si}

f

^{est unetellefontion,}

alors pour haque

φ ∈ C _c ^∞ ( D )

^onaura

A(f ) ≤ A(f + ǫφ) ∀ ǫ > 0.

En partiulier,

d

dǫ A(f + ǫφ) | ǫ=0 = 0.

Z

D

f _x p 1 + k∇ f k ²

!

φ x + f _y p 1 + k∇ f k ²

!

φ y = 0.

En utilisantl'intégrationpar partie,on déduit

Z

D

∂ _x f x

p 1 + k∇ f k ²

!

+ ∂ _y f y

p 1 + k∇ f k ²

!!

φ = 0.

Comme

φ ∈ C ₀ ^∞ ( D )

^est arbitraire, ononlut que

∂ _x f x

p 1 + k∇ f k ²

!

+ ∂ _y f y

p 1 + k∇ f k ²

!

= 0.

^(1.5)

C'estl'équationdes surfaes minimales. Unesolutionde etteéquation n'estpas néessaire-

ment un minimum de l'aire. C'est plutt un point stationnaire. Cette équation exprime le

fait qu'une surfae minimaleest une surfae dont la ourbure moyenne est nulle. C'est une

équation non-linéaired'ordre deux.

1.2. Classiation des équations linéaires d'ordre deux.

1.3. Séparation des variableset spetrede Dirihlet. Soit

Ω

^{unouvertbornéduplan.}

On onsidère le problème suivant :



 

 

∂ tt u(t, x) = ∆u(t, x)

^pour

x ∈ Ω, t > 0, u(0, x) = A(x), ∂ t u(0, x) = B(x)

^pour

x ∈ Ω,

u(t, x) = 0

^pour

x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,

où

A, B

^{sont des fontions données. Si ontentede résoudre e problème par séparation des}

variables, 'est-à-direen herhant une solution de la forme

u(t, x) = T (t)f (x),

^{on obtient}

T ^′′ (t)f (x) = T (t)∆f (x).

Il existe don une onstante

λ ∈ R

telle que

T ^′′ + λT = 0,

∆f + λf = 0 f (x) = 0 ∀ x ∈ ∂Ω.

Un des buts du ours est de démontrer lethéorème suivant.

Théorème 1.2 (Théorème spetral pour leproblème de Dirihlet). Les valeurs propres du

problème de Dirihlet sur

Ω

^:

( ∆f + λf = 0

^sur

Ω,

f = 0

^sur

∂Ω,

forment une suite positive divergente (appelée spetre de Dirihlet)

0 < λ 1 (Ω) ≤ λ 2 (Ω) ≤ · · · ր ∞ .

tienne

(f k ) k ∈N

^de

L 2 (Ω)

^{dont les fontions sont lisses et vérient}

∆f _k + λ _k f = 0.

Pour haque

k ∈ N

,on obtient une famillede solutions de l'équation des ondes :

(t, x) 7→ u k (t, x) :=

a k cos p λ k t

+ b k sin p λ k t

f k (x) (a k , b k ∈ R ).

Cette solution orrespond à une vibration de la membrane dont la fréquene est

√ λ k

^{. On}

herhera à représenter une solution de l'équationdes ondes sous laforme

u(t, x) =

∞

X

k=1

a k cos p λ k t

+ b k sin p λ k t

f k (x).

En partiulier,on obtiendra dans e as

A(x) = u(0, x) =

∞

X

k=1

a k f k (x),

B (x) = ∂ t f (0, x) =

∞

X

k=1

b k

p λ k f k (x),

les oeients

(a k ) k ∈N

^et

(b k ) k ∈N

^{sont déterminés par les} représentations de

A

^et

B

^{dans la}

base hilbertienne

(f k ) k ∈N

^.

Remark 1.3. La méthode que nous venons de présenterdemande bien sûr à être justiée.

Géométrie spetrale. D'un point de vue physique, la géométrie spetrale s'intéresse aux

liens qui existent entre la forme d'un domaine

Ω

^{d'une part, et d'autre part les modes de}

vibration de elui-i. Mathématiquement, onherhera don à déouvrir des liens entre des

quantités géométriques (aire, ourbure, onnexité, et) et les valeurs propres. Pour donner

un exemple onret, itons deux résultats très lassiques que nous démontrerons plus tard

dans e ours.

Théorème 1.4 (H. Weyl). Soit

Ω ⊂ R ^d

un ouvert borné dont le spetre de Dirihlet est donné par lasuite

(λ k )

^{. Alors}

λ k ∼ 4π ² k ^2/d

(c d | Ω | ) ^2/d

^ave

k → ∞ ,

où

c d = π ^d/2 /Γ(d/2 + 1)

^{est le volume de la boule unitéde}

R ^d

.

Théorème 1.5 (R. Courant). Soit

Ω ⊂ R ²

un domaine eulidien borné. Soit

(f _k ) _k ∈N

^une

base de fontions propres pour le problème de Dirihlet. Le nombre de domaines nodaux de

f k

^{ne dépasse pas}

k

^.

Exerie1.Undomaineestunouvertonnexede

R ^d

. Danseours,ontravailleratoujours ave des domaines

Ω

^{susamment réguliers2 pour que la formule de} divergene-ux soit

2

Ceseraleasparexemplesi

Ω

^{estundomainedontl'adhéreneestompateetlafrontièreestlissepar}

moreau.

vériée: pour haque hampde veteurs

V

^{de lasse}

C ¹ (Ω) ∩ C(Ω)

^,

Z

Ω

div

V (x) dx = Z

∂Ω

V (z) · ν(z) dz.

^(1.6)

Lemembrede gauhenepose pas deproblèmepartiulier,il s'agitde l'intégralede Lebesgue

(oudeRiemann). Lemembrededroite estplussubtil,lesensày donnerdépenddu ontexte.

Par exemple si

∂Ω

^{est une ourbe}

(d = 2)

^{ou une surfae}

(d = 3)

^{, elle peut être alulée à}

l'aide del'intégraleurviligne tellequevousl'avez vuedansvotreours d'analysevetorielle.

Soit

u, v ∈ C ² (Ω)

(1) Montrez la première formule de Green:

Z

Ω

v∆u + Z

Ω ∇ v · ∇ u = Z

∂Ω

v(z)∂ ν(z) u(z) dz.

^(1.7)

Exerie 2. Trouvez quelques exemplesde fontionsharmoniques.

Exerie 3. Montrez l'uniité de la solution du problème de Dirihlet.

Exerie 4. Soit

g : S ¹ → R

une fontion ontinue. Posons

X g = { f ∈ C ^∞ ( D ) ∩ C( D ) } .

Supposons que

f ∈ X _g

^{minimise la fontion}

I : X _g → R

dénie par

I(f) = Z

D |∇ f | ² .

En imitant e qui a été fait plus haut, déduisez une EDP qui sera vériée par

f

^.

Exerie 5. Montrez que

λ > 0

^.

Exerie 6. Calulez le spetre de Dirihlet d'un intervalle

(0, L)

^{et vériez la lois de Weyl}

dans e as.

Exerie 7. Soit

Ω ⊂ R ^d

un ouvert. Le support d'une fontion ontinue

f ∈ C(Ω)

^est

l'ensemble

supp

(f) =

^adh

n

x ∈ Ω

f (x) 6 = 0 o .

Rappelonsque l'ensembledes fontionslissesà supportompat sur un ouvert

Ω ⊂ R ^d

est

C ₀ ^∞ (Ω) = n

f ∈ C ^∞ (Ω)

∃ K

^{ompat, supp}

(f ) ⊂ K ⊂ Ω o .

Unesuitedefontions

(η _k ) ⊂ C ₀ ^∞ ( R ^d )

^{estappelée suite}régularisantesipourhaque

k ∈ N

, (1)

η k (x) ≥ 0

^{pour haque}

x ∈ R ⁿ

,

(2) supp

(η k ) ⊂ B(0, 1/k),

(3)

R

R ⁿ η k dx = 1.

Soit

η k

^{une suite}régularisante. Soit

f : R ⁿ → R

une fontion ontinue. Montrez quepour haque ouvert

O

^{ontenant l'origine,}

k lim →∞

Z

O

f(x)η _k (x) dx = f(0).

Exerie 8. Calulez le spetre de Dirihlet d'un retangle

(0, 1) × (0, L)

^.