Université Pierre et Marie Curie Examen 2 heures
LM216 Première session 7 janvier 2014
Avertissements importants :
Tous les documents et tous les appareils électroniques (téléphones, tablettes, ordinateurs...) sont interdits. Leur usage durant l'épreuve peut donner lieu à des sanctions disciplinaires.
Les réponses doivent être justiées et rédigées de manière rigoureuse. Si un résultat du cours est utilisé, il doit être clairement énoncé.
Les trois exercices sont indépendants, l'examen est noté sur 25 points et le barème donné dans l'énoncé est indicatif.
Exercice I. (11 points) Soit la fonctionf :R3 →R,(x, y, z)7→ xyz x2+y2.
1. Déterminer le domaine de dénitionΩde la fonctionf. Est-ce un ouvert ? un fermé ? Quelle est la nature géométrique deR3\Ω?
2. (a) Montrer quef est C∞ surΩ.
(b) Calculer∇f(x, y, z) pour tout (x, y, z)∈Ω.
(c) En déduire l'ensembleE des points critiques def surΩ.
3. (a) Montrer quef est prolongeable par continuité au point (0,0,0)par la valeur0. (b) Qu'en est-il du prolongement def par continuité en les autres points deΩ? 4. Quand cela a un sens, on posef˜(x, y) =f(x, y,2).
(a) Énoncer le théorème des fonctions implicites dans R2.
(b) Montrer que l'ensemble des points (x, y) ∈ R2 vériant f˜(x, y) = 0peut être vu, au voisinage de (1,0), comme le graphe d'une fonction g dex à valeurs dansR?
(c) Écrire un développement limité de la fonctiong à l'ordre1 au voisinage de1. Exercice II. (13 points) Soient a ≥ b > 0. On introduit K =
(x, y)∈R2
x2 a2 +y2
b2 ≤1
et on pose Γ =∂K, que l'on oriente dans le sens direct. On considère la fonction f :R2 →R,(x, y, z)7→x2−y2.
1. (a) Quelle est la nature géométrique deΓ? Tracer sommairementΓetK en indiquant l'orientation de Γsur le schéma.
(b) Déterminer un paramétrageγ deΓ sur[0,2π]vériant γ(0) = (a,0). (c) Montrer queΓ est une courbe régulière.
2. (a) Énoncer la formule de Green-Riemann (ou un résultat équivalent) dansR2.
(b) Montrer queK est compact. Calculer l'aire deK en utilisant la question précédente.
(c) CalculerI = Z
Γ
xds(attention, la réponse ne nécessite pas beaucoup de calcul).
3. On suppose ici a=b. CalculerJ = Z Z
K
(x+y)2dxdy sans utiliser d'intégrale curviligne.
4. (a) Montrer quef admet un unique point critique dont on déterminera la nature.
(b) Expliquer pourquoi, surK,f est bornée et atteint ses bornes.
(c) Montrer, par l'absurde, que ces bornes sont nécessairement atteintes surΓ.
(d) En étudiant les variations de h : [0,2π] → R2, θ 7→ f(γ(θ)), déterminer les points réalisant les extrema def.
Exercice III. (4 points) On considèreΦ :R2 →R2,(x, y)7→(x−y, x+y).
1. Énoncer le théorème d'inversion globale.
2. Montrer queΦest un C1-diéomorphisme de R2 dans R2 sans utiliser le théorème précédent.
3. On cherche les fonctionsu∈C1(R2) vériant ∂xu(x, y) +∂yu(x, y) = 0pour tout (x, y)∈R2. (a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles très simple vériée parv=u◦Φ−1.
(b) En déduire la forme générale deu.
