Le barème n’est qu’indicatif (le devoir est noté sur 30 points).

N om :

Devoir surveillé n°2

Second degré – Géométrie vectorielle - Suites

L’énoncé est à rendre avec sa copie.

Le barème n’est qu’indicatif (le devoir est noté sur 30 points).

Q UESTION DE COURS (2 points).

Vous démontrerez, au choix, l’une des propositions suivantes : Proposition 1.

Pour tout entier naturel n > 1 :

1 + 2 + ... + n = (1 + n) × n 2 Proposition 2.

Pour tout entier naturel n > 1 et pour tout réel q 6= 1 : 1 + q + q ² + ... + q ⁿ = 1 − q ^{n + 1}

1 − q E XERCICE 1 (5 points).

Soit :

• f la fonction définie sur R par f (x) = x + 4 ;

• g la fonction définie sur R \{2} par g (x) = − _{x −} ⁵ ₂ ;

• d la fonction définie sur R \{2} par d(x) = f (x) − g (x).

1. Montrer que, pour tout x ∈ R \{2}, d(x) = ^x

⁺ _x ^2x _{− 2} ^{− 3} . 2. Étudier le signe de d(x) selon les valeurs de x.

3. En déduire les positions relatives de C _f et C _g , les courbes res- pectives de f et g dans un repère du plan.

E XERCICE 2 (8,5 points).

Sur la figure ci-dessous ABC D est un parallélogramme.

On définit les points I , J , E et F par :

• I est le milieu de [ AB ];

• J est le point tel que −→ D J = 2 −−→ DC ;

• E est le point tel que −→ AE = −→ AB − ¹ ₂ −→ AC ;

• F est le point tel que −→ BF = −−→ DB + ¹ ₂ −→ B A + C B −→ . 1. Construire les points I , J , E et F .

2. (a) Montrer que −−→ DF = 3 −−→ D A + ³ ₂ −−→ DC .

(b) Exprimer −→ DI en fonction des vecteurs −−→ D A et −−→ DC . (c) Que peut-on en conclure pour les points D, I et F ?

On justifiera soigneusement.

3. Montrer que les droites ( AC ) et (E J) sont parallèles.

A B

C

D

E XERCICE 3 (5 points).

Les questions sont indépendantes.

1. Soit (u n ) la suite telle que, pour tout n ∈ N, u n = 7n + 3.

Montrer que la suite (u _n ) est arithmétique.

On précisera ses caractéristiques (son premier terme et sa rai- son).

2. Soit (v _n ) la suite telle que, pour tout n ∈ N , v _n = 7 × 2 ^{n + 1} . Montrer que la suite (v n ) est géométrique.

On précisera ses caractéristiques.

3. (w n ) est la suite arithmétique de premier terme w 0 = 3 et de raison r = 2.

(a) Exprimer w _n en fonction de n.

(b) Soit S _n la somme des termes consécutifs du rang 0 au rang n.

Exprimer S n en fonction de n.

4. (x _n ) est la suite géométrique de premier terme x ₀ = 2 et de rai- son q = 3.

(a) Exprimer x _n en fonction de n.

(b) Soit T _n la somme des termes consécutifs du rang 0 au rang n.

Exprimer T _n en fonction de n . E XERCICE 4 (5 points).

Soit (u n ) la suite définie par :

½ u 0 = 1

u n + 1 = (n + 1) × u n pour tout n ∈ N 1. (a) Déterminer u ₁ , u ₂ , u ₃ et u ₄ .

(b) La suite (u _n ) est-elle arithmétique? géométrique? On jus- tifiera sa réponse.

2. On voudrait un algorithme qui affiche les termes de la suite de u ₀ à u ₄ . On donne les quatre algorithmes ci-après :

Algorithme 1

u PREND LA VALEUR 1 POUR k ALLANT DE 0 A 4

AFFICHER u

u PREND LA VALEUR (k+1)u FIN POUR

Algorithme 2

u PREND LA VALEUR 1 POUR k ALLANT DE 0 A 4

u PREND LA VALEUR (k+1)u AFFICHER u

FIN POUR

Algorithme 3

u PREND LA VALEUR 1 POUR k ALLANT DE 0 A 4

u PREND LA VALEUR (k+1)u FIN POUR

AFFICHER u

Algorithme 4

u PREND LA VALEUR 1 POUR k ALLANT DE 1 A 4

AFFICHER u

u PREND LA VALEUR (k+1)u FIN POUR

Lequel (ou lesquels) ne permet(tent) pas un tel affichage?

On justifiera brièvement.

E XERCICE 5 (4,5 points).

Pour un appartement, on propose à Mathieu deux contrats de loca- tion pour une année.

Dans les deux contrats, le premier loyer est de 500 ( . Il évolue ensuite selon le type de contrat.

Contrat A : Chaque mois le loyer augmente de 5 ( . Contrat B : Chaque mois le loyer augmente de 1 %.

Déterminer le contrat le plus avantageux pour Mathieu.

E XERCICE 6 (Bonus; hors barème).

(u n ) est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 0 et de raison r = 3.

On pose, pour tout n ∈ N , S _n = u ₀ + ... + u _n .

Déterminer le plus petit entier naturel n tel S n > 60 300.