A20048. Rationnel inattendu
Soit x la racine dans l’intervalle (0,1) de l’´equation (o`u n est un entier donn´e)
√n
1 +x− √n
1−x= 2np1−x2 Montrer que
√5 +x
√
5−x est rationnel.
Solution
L’´equation donn´ee s’´ecrit 2n s1 +x
1−x− 2n s1−x
1 +x = 1.
Posant 2np(1 +x)/(1−x) =ϕ, quantit´e >1 puisque 0 < x <1, on doit avoir ϕ−1/ϕ= 1, ce qui montre que ϕest le nombre d’or.
Soit λ= lnϕ. On a successivement 1 =ϕ−1/ϕ= 2 sinhλ, coshλ=√
5/2, tanhλ= 1/√
5, cosh(2λ) = 3/2.
D’autre part (1 +x)/(1−x) =ϕ2n, x= (ϕ2n−1)/(ϕ2n+ 1) = tanh(nλ).
L’expression de l’´enonc´e (√
5 +x)/(√
5−x), que je noteraiyn, s’´ecrit 1 +x/√
5 1−x/√
5 = 1 + tanhλtanh(nλ)
1−tanhλtanh(nλ) = cosh(n+ 1)λ cosh(n−1)λ. a) Solution par les polynˆomes de Tchebychev L’expression vaut Tn+1(√
5/2) Tn−1(√
5/2).
Si n est impair, les polynˆomes sont pairs et prennent des valeurs ration- nelles.
Si n est pair, les polynˆomes sont impairs et prennent des valeurs ration- nelles au facteur√
5 pr`es, ce qui donne une valeur rationnelle `a l’expression de l’´enonc´e.
b) Solution par r´ecurrence
Par la propri´et´e bien connue d’addition des cosinus cosh(n+ 1)λ+ cosh(n−3)λ=
= 2 cosh(2λ) cosh(n−1)λ= 3 cosh(n−1)λ, et par cons´equent yn= 3− 1
yn−2
. On a y1= cosh(2λ) = 3/2,
y2= cosh(3λ)/coshλ= 4 cosh2λ−3 = 2.
Ainsi on obtient tous lesynpar une suite d’op´erations rationnelles `a partir de valeurs initiales rationnelles y1 ou y2, ce qui entraˆıne la propri´et´e de l’´enonc´e.
Les valeurs obtenues poury1, y2, . . . sont 3/2, 2, 7/3, 5/2, 18/7, 13/5, . . .
et on observe (et on d´emontre sans difficult´e) que les y de rang impair s’obtiennent avec un terme sur 2 de la suite de Lucas
2, (1), 3, (4), 7, (11), 18, . . .
alors que lesy de rang pair s’obtiennent avec un terme sur 2 de la suite de Fibonacci
1, (1), 2, (3), 5, (8), 13, . . .
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