A20369. De rationnel en rationnel
L’équation x4 −ax3 +bx2 −cx+d = 0, où a, b, c, d sont des coefficients rationnels, a quatre raciness, t, u, vdont les deux premières ont une somme rationneller. Montrer que si u+v6=r, le produitstest lui aussi rationnel.
Solution
Commes+t=r, on au+v=a−r, et on peut écrire le polynôme P(x) = (x−s)(x−t)(x−u)(x−v) =
= (x2−rx+st)(x2+ (r−a)x+uv) =
= (x2−rx)(x2+ (r−a)x+uv) +st(x2+ (r−a)x) +d, card=stuv.
Alors P(r) = str(2r−a) +d= r4−ar3+br2−cr+d; si a6= 2r, ce qui équivaut àu+v6=r, on a st= r3−ar2+br−c
2r−a , rationnel.
