D1892**** - Un ratio très rationnel
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AC > BC = a.
On trace le point D sur le côté AC entre A et C tel que CD = BC = a, puis le point E projection de C sur BD.
Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r.
En déduire le ratio r/a
Proposition de Marc Humery
1/ Relations dans le triangle isocèle (ABC) de sommet A
b = AB = AC ; (BA, BC) = (CB, CA) = ϕ ; (AB, AC) =  = (π -2ϕ) => sin  = sin2ϕ ; sin(Â/2) = cosϕ a = CD = CB < b ; b.cosϕ = a/2 => b = a/2cosϕ
2/ Relations dans le triangle isocèle (BCD) de sommet C avec CB = CD = a
Le point E projection de C sur BD => CE, hauteur issue du sommet C, est aussi médiatrice de BD et bissectrice de l’angle (CB, CD) = ϕ => E, milieu de BD EB = ED
3/ Relations dans le triangle (BCE) rectangle en E BC = a ; EC = a.cos(ϕ/2) ; EB = a.sin(ϕ/2) ; (EB, EC) = π/2 Périmètre du triangle (BCE) :
2p1 = BC + EC + EB = a[1+cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)] p1 = (a/2)[1+cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)]
Surface S1 du triangle (BCE) :
S1 = (1/2).EB.EC.sin(EB, EC) = (a²/2).sin(ϕ/2).cos(ϕ/2).sin(π/2) Rayon r1 du cercle inscrit dans le triangle (BCE) :
r1 = S1/p1 = (a²/2).sin(ϕ/2).cos(ϕ/2) x 1/(a/2)[1+cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)]
r1/a = sin(ϕ/2).cos(ϕ/2) x 1/[cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)+1]
Or :
1/[cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)+1] = [cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)-1]/{[cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)]²-1} = [cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2)-1]/2sin(ϕ/2).cos(ϕ/2)
=> r1/a = [cos(ϕ/2)+sin(ϕ/2) -1]/2
En posant u = tan (ϕ/2) avec 0 < u < 1 car 0 < ϕ < π/2, on obtient : r1/a = [(1+u)-(1+u²)1/2]/2(1+u²)1/2 > 0
4/ Relations dans le triangle quelconque (ABD)
AB = a/2cosϕ ; AD = a(1/2cosϕ – 1) ; BD = 2a.sin(ϕ/2) ; (AB, AD) = (AB, AC) =  ; sin  = sin2ϕ Périmètre du triangle (ABD) :
2p2 = AB+AD+BD = a[1/cosϕ + 2sin(ϕ/2) - 1] p2 = (a/2)[1/cosϕ + 2sin(ϕ/2) - 1]
Surface S2 du triangle (ABD) :
S2 = (1/2).AB.AD.sin(AB, AD) = (1/2)(a/2cosϕ).a(1/2cosϕ – 1).sin2ϕ = (a²/2)(1/2cosϕ – 1).sinϕ Rayon r2 du cercle inscrit dans le triangle (ABD) :
r2 = S2/p2 = (a²/2).[(1/2cosϕ – 1).sinϕ]/(a/2)[1/cosϕ + 2sin(ϕ/2) - 1]
=> r2/a = [(1/2cosϕ – 1).sinϕ]/[1/cosϕ + 2sin(ϕ/2) -1]
En posant u = tan (ϕ/2) avec 0 < u < 1 car 0 < ϕ < π/2, on obtient :
r2/a = (3u²-1)/2(1+u²)1/2[u(1+u²)1/2+(1-u²)] > 0 pour √3/3 < u < 1 soit π/3 < ϕ < π/2
5/ Utilisation de l’égalité r1 = r2
r1/a = r2/a [(1+u)-(1+u²)1/2]/2(1+u²)1/2 = (3u²-1)/2(1+u²)1/2[u(1+u²)1/2+(1-u²)]
En développant les 2 membres de l’égalité, on établit une équation du 5ème degré en u 12u5+15u4-10u3-14u²+2u+3 = (3u²-1)(u+1)²(4u-3) = 0 avec √3/3 < u < 1
Seule racine acceptable : u = tan(ϕ/2) = 3/4 = 0,75
=> ϕ = 1,287 002 218 rad ~ 73,739°
6/ Valeur du ratio r/a avec u = 3/4
r/a = r1/a = [(1+u)-(1+u²)1/2]/2(1+u²)1/2 = (7/4 -5/4)/(5/2) = (1/2)/(5/2) = 1/5 = 0,20 Résultat : ratio r/a = 1/5 ∈ Q
