Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AC > BC = a.
On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD.
Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r.
En déduire le ratio r/a
Pour tout triangle dont les longueurs des cotés sont a, b, c, de périmètre 2p=a+b+c et d’aire S avec S2=p(p-a)(p-b)(p-c) , le rayon du cercle inscrit est r=S/p donc
r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p.
Si ce triangle est rectangle, S=bc/2, r=bc/(a+b+c)=(b+c-a)/2
Posons AB=AC=x, donc AD=x-a ; remarquons d’abord que lorsque x augmente, le rayon du cercle inscrit dans ABD augmente, tandis que celui de BCE diminue : il y a donc une seule valeur de x pour laquelle il y a égalité.
Si C désigne l’angle BCA, a/2x=cosC=1-2sin2(C/2) donc sin2(C/2)=(2x-a)/4x ; puisque BD=2BE=2a sin(C/2), BD2=a2(2x-a)/x , BE2=a2(2x-a)/4x , CE2=a2(2x+a)/4x, soit BD/a=√(2-a/x), BE/a=√(2-a/x)/2, CE/a=√(2+a/x)/2
Le rapport r/a sera rationnel si le triangle BCE est pythagoricien ; avec le premier triplet, donc a=5, on aurait BE=3, CE=4, donc un rayon du cercle inscrit égal à (4+3-5)/2=1.
Par ailleurs BD=6 et sin(C/2)=3/5, donc (2x-a)/4x=9/25, soit AB=x=125/14 et AD=x-a=55/14 ; le demi-périmètre p du triangle ABD est alors :
p=(6+(125/14)+(55/14))/2=66/7, p-BD=24/7, p-AB=1/2, p-AD=11/2, donc
(p-BD)(p-AB)(p-AD)/p=(24/7)(11/2)(1/2)(7/66)=1 : on a bien égalité des rayons des cercles inscrits dans ABD et BCE, et r/a=1/5.
