A449 : Les trois chapeaux tonkinois
Sur l'axe des abscisses Ox, on trace trois points A,B et C d'abscisses a,b,c telles que 0 < a <
b < c. On trace les points S,T et U d’ordonnées positives tels que les triangles SOA, TOB et UOC sont isocèles de sommets S,T et U. Tous les côtés de ces trois triangles sont mesurés par des nombres entiers. Les cercles inscrits à ces trois triangles ont même rayon r de valeur entière et le cercle inscrit du triangle TOB est tangent aux deux autres cercles.
Trouver les dimensions de ces trois chapeaux tonkinois correspondant à la plus petite valeur possible de r.
Si A’, B’, C’ sont les milieux de OA, OB, OC, on a A’B’=B’C’=2r, et les abscisses de A’, B’ et C’ doivant être en progression arithmétique.
Soit r le rayon du cercle inscrit dans un triangle isocèle de demi-base x et de coté y.
En écrivant de deux façons l’aire de ce triangle on obtient r(y+x)=x√(y2-x2), donc r2(y+x)=x2(y-x) ou y=x(x2+r2)/(x2-r2)
Il ne peut y avoir de solution que si r divise x, soit x=tr, y=tr(t2+1)/(t2-1); t2-1 est premier avec t, et n’a éventuellement que le facteur 2 en commun avec t2+1 (si t est impair) donc r est divisible par t2-1 ou (t2-1)/2.
Pour t=2,3,4,5,6,7, r est respectivement multiple de 3, 4, 15, 12, 36, 24. Or si r est multiple de 12, il l’est également de 3 et de 4; s’il est multiple de 24 ou 36, il l’est également de 3, 4, et 12. Pour r=12, t=2, 3, 5 (pas de progression arithmétique).
Pour r=24, t=3, 5, 7, donnent des valeurs de x en progression arithmétique: 72, 120, 168, auxquelles correspondent y= 90, 130, 175.
