A449 Les trois chapeaux tonkinois Solution proposée par Jean-Louis Margot
a = OA c = OS
Le centre du cercle est sur la hauteur/médiatrice/bissectrice du triangle isocèle. On en déduit:
(a/2)/c = r / ( r*r + (c - a/2)*(c – a/2))^(1/2) soit:
a^2 / 4* c^2 = r^2 / ( r^2 + (c – a/2)^2 ) solution en c:
c = a * (4*r^2 + a^2) / ( 8* a^2 – 2*a^2) ou c = a/2
Le cas c = a/2 correspond à la solution triviale r=0.
On se concentre sur l'autre solution a est nécessairement pair: a =2*a' donc:
c= a' * (a'^2 + r^2) / (a'^2 - r^2)
soit a' = q*a1 et r = q*r1 avec q pgcd de a' et r.
c= q*a1 * (a1^2 + r1^2) / (a1^2 - r1^2)
si d pgcd de (a1^2 – r1^2) et (a1^2 + r1^2) alors a1^2 - r1^2 = d * k1
a1^2 + r1^2 = d * k2
==> 2*a1^2 = d(k1+k2) 2*r1^2 = d(k1-k2)
d ne peut divise a1^2 (sinon d divise r1^2 et d ou un facteur de d divise a1 et r1)
==> d divise 2, d=1 ou d=2 2 cas:
a1 pair ou r1 pair,
O a’ A
S
R R
dans ce cas d=1, et
(a1^2 - r1^2) et (a1^2 + r1^2 ) sont nécessairement premiers entre eux. Donc a1^2 – r1^2 = (a1 -r1)(a1+r1) divise q.
a1 impair et r1 impair,
dans ce cas d=2 et (a1^2 – r1^^2)/2 et (a1^2 + r1^^2)sont premiers entre eux (a1^2 – r1^2 )= (a1 -r1)(a1+r1)/2divise q.
---q--- L'équivalent de a' pour le second triangle est a'+2*r.
q est également le pgcd de (a'+2*r) et r.
d'autre part si a1 est pair, a1+2*r1 est pair et si a1 est impair alors a1+2*r1 est impair D'où:
(a1+2*r1 - r1)(a1+2*r1+r1) divise q soit (a1 + r1)(a1+3*r1) divise q.
a1 pair ou r1 pair,
(a1+r1)*(a1+3*r1) divise q.
a1 impair et r1 impair, (a1+r1)*(a1+3*r1)/2 divise q.
--- L'équivalent de a' pour le troisième triangle est a'+4*r.
q est également le pgcd de (a'+4*r) et r.
d'autre part si a1 est pair, a1+4*r1 est pair et si a1 est impair alors a1+4*r1 est impair D'où:
(a1+4*r1 - r1)*(a1+4*r1+r1) divise q soit (a1 + 3*r1)*(a1+5*r1) divise q.
a1 pair ou r1 pair,
(a1 + 3*r1)*(a1+5*r1) divise q.
a1 impair et r1 impair,
(a1 + 3*r1)*(a1+5*r1)/2 divise q.
--- CONCLUSION
on écarte le cas trivial r=0.
on ne peut avoir a1=r1 ou a1<r1.
a1 pair ou r1 pair,
==> le ppcm de (a1-r1) *(a1+r1) ,(a1+r1)* (a1+3*r1),(a1+3*r1)* (a1+5*r1) donc ppcm( a1 – r1, a1 + r1, a1 + 3*r1, a1+ 5*r1) divise q.
a1=2, r1=1
ppcm( 1, 3, 5, 7) = 105.
Si q= 105, a = 2* 105*2 = 420, r = 105 * 1= 105, c = 350.
c 2ème triangle = 476 c 3ème triangle = 666
a1 impair et r1 impair,
==> le ppcm de (a1-r1) *(a1+r1)/2 ,((a1+r1)/2)* (a1+3*r1),(a1+3*r1)* (a1+5*r1)/2 donc ppcm( a1 – r1, (a1 + r1)/2, a1 + 3*r1, (a1+ 5*r1)/2 ) divise q.
a1=3, r1=1
ppcm( 2, 2, 6, 4) = 24.
Si q= 24, a = 2* 24*2 = 72, r = 24 * 1= 24, c = 90.
c 2ème triangle = 130 c 3ème triangle = 175
