A449. Les trois chapeaux tonkinois
Sur l'axe des abscisses Ox, on trace trois points A, B et C d'abscisses a,b,c telles que 0 < a <
b < c. On trace les points S, T et U d’ordonnées positives tels que les triangles SOA, TOB et UOC sont isocèles de sommets S, T et U. Tous les côtés de ces trois triangles sont mesurés par des nombres entiers. Les cercles inscrits à ces trois triangles ont même rayon r de valeur entière et le cercle inscrit du triangle TOB est tangent aux deux autres cercles.
Trouver les dimensions de ces trois chapeaux tonkinois correspondant à la plus petite valeur possible de r.
source: d'après un problème soumis par Dominique Roux.
Nota : la figure de l'énoncé n'est pas recopiable Solution proposée par patrick Gordon
Remarquons tout d'abord que la figure est entièrement déterminée par la donnée de r et de a.
Notons OS = s, OT = t et OU = u et posons a/2 = a'
Dans le demi triangle isocèle de OSA, un peu de trigonométrie montre aisément que :
s = a' (a'² + r²) / (a'² – r²)
C’est-à-dire encore :
s = a' [1 +2r² / (a'² – r²)]
À tout le moins donc, 2r² doit être divisible par (a' – r) et par (a' + r).
De même, dans le demi-triangle isocèle de OTB, on a :
t = (a' + 2r) [(a'+2r)² + r²) / (a'+2r)² – r²]
C’est-à-dire encore :
t = (a' + 2r) [1 +2r² / (a' + 3r) (a' + r)]
À tout le moins donc, 2r² doit être divisible par (a' + 3r) et par (a' + r)
De même enfin, dans le demi-triangle isocèle de OUC, on a :
u = (a' + 4r) [(a'+4r)² + r²) / (a'+4r)² – r²]
C’est-à-dire encore :
u = (a' + 4r) [1 +2r² / (a' + 3r) (a' + 5r)]
À tout le moins donc, 2r² doit être divisible par (a' – r), (a' + r), (a' + 3r) et (a' + 5r).
Naturellement, ces conditions sont nécessaires mais non suffisantes. En effet, u par exemple doit être divisible par le produit (a' + 3r) (a' + 5r) et non pas seulement par chacun des deux facteurs, ce qui n'est pas la même chose s'ils ne sont pas premiers entre eux.
Au moyen d'un tableur, on fait varier manuellement les valeurs de a' et l'on examine, pour chaque valeur de r < a', si 2r² est divisible par les 4 facteurs et si les valeurs de s, t, u qui en résultent sont entières.
On trouve pour minimum de r la valeur 24 et la valeur correspondante a' = 72.
Il en résulte :
a = 2a' = 144 b = a + 4r = 240 c = a + 8r = 336
s = a' (a'² + r²) / (a'² – r²) = 90
t = (a' + 2r) [(a'+2r)² + r²) / (a'+2r)² – r²] = 130 u = (a' + 4r) [(a'+4r)² + r²) / (a'+4r)² – r²] = 175
