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D1931 Trois jeux de prependiculaires Solution proposée par Joseph Uzan 1

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Academic year: 2022

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D1931 Trois jeux de prependiculaires Solution proposée par Joseph Uzan

1er jeu

Dans le triangle ABC la hauteur AH coupe BC en H’ et le cercle circonscrit en L. H’ est le milieu de HL.

Soient P et Q les points d’intersection de HM avec le cercle circonscrit à ANC (P sur l’arc AB et Q sur l’arc BC).

Il est bien connu que le cercle circonscrit est homothétique au cercle d’Euler qui passe par les pieds des hauteurs et les milieux des côtés par l’homothétie de centre H et de rapport 2.

Comme le triangle HH’M est rectangle, il en est donc de même du triangle HLQ . AQ est un diamètre.Donc AP et PM sont perpendiculaires.

2ème jeu Soit E le centre de gravité du triangle ADC ( ici UV designe le vecteur UV) On a : DE =1/3 BC OD=1/2 (OA+OB) d’où OE= ½ OA+1/3 OC +1/6 OB

DC=OC—1/2 (OA+OB)

Sachant que OA 2 =OB 2=OC 2 et que OA.OB =OA.OC On vérifie que le produit scalaire OE.DC =0

.

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