D182- Quatre théorèmes pour quatre triangles Solution proposée par Joseph Uzan 1

D182- Quatre théorèmes pour quatre triangles Solution proposée par Joseph Uzan

1^ère question

Soit PQ qui passe par les points d’intersection des cercles de centres O4 et O3 . On a les égalités d’angles suivantes modulo π :

(PM,PN) = (QM,QN) = (QR,QS) = (PR,PS)

(PR,PM) = (PR,PQ) + (PQ,PM) = (SR,SQ) + (NQ,NM) = (ST,SN) + (SN,NM) = (ST,NM) = (TS,TN) = (TR,TM)

Donc (PR,PM)=(TR,TM) et P appartient au cercle de centre O1 passant par les points M,R et T.

La démonstration est similaire pour le cercle de centre O2 qui passe lui aussi par P.

2^ème question

Les droites des centres de deux cercles sont perpendiculaires à la corde commune.

Donc moduloπ on a :

(O1O4,O1O2)=(PM,PT)=(RM,RT) et (O3O4,O3O2)=(PQ,PS) =(RM,RT) Les 4 centres sont cocycliques.

Par ailleurs (PO4,PO3)=(O1O4,O1O3) et P appartient au cercle précédent.

3^ème question

Les projections de P sur les 4 droites sont les droites de Simson des 4 cercles. Elles sont toutes quatre confondues.

4^ème question

Si M,P,S sont alignés, alors les angles (PM,PQ) et (PQ,PS) sont supplémentaires.

Il en est de même des angles (NM,NQ) et (RQ,RS) et enfin des angles (NQ,NT) et (RT,RQ).

Donc N,T,R et Q sont cocycliques